Re: [obm-l] Re:[obm-l] polinômio

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Outra maneira de testar se x^13 + x + 90 é divisível
por x^2 - x + 2 é utilizar congruência módulo p(x) =
x^2 - x + 2:
   x^2 = x - 2 (mód p(x))
=> x^4 = x^2-4x+4 = x-2-4x+4 = -3x+2 (mód p(x))
=> x^8 = 9x^2-12x+4 = 9x-18-12x+4 = -3x-14 (mód p(x))
=> x^12 = (-3x-14)(-3x+2) = 9x^2+36x-28
        = 9x-18+36x-28 = 45x-46 (mód p(x))
=> x^13 = 45x^2-46 = 45x-90-46x (mód p(x))
<=>x^13 + x + 90 = 0 (mód p(x))

Como o resto é zero, é divisível.

[]'s
Shine

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Tue, 17 Oct 2006 15:51:31 -0200
> 
> Assunto:[obm-l] polinômio
> 
> > Bem estou em dúvida nesta questão:
> > Para quais inteiros a o polinômio x^2 - x + a   é
> um fator de x^13 + x + 90
> > naum resolvi dividir nada pq acho q deve existir
> uma idéia esperta pra kestaum qria saber qual é
> > e se eh possível generalizar como a primeira
> espressão sendo fator de x^n + x + k  fazendo alguma
> restrição....
> >
> 
> x^13 + x + 90 = q(x)*(x^2 - x + a)
> com q(x) mônico e de coeficientes inteiros (e grau
> 11)
> 
> x = -1 ==> 88 = q(-1)*(2 + a)
> x = 0 ==>  90 = q(0)*a
> x = 1 ==> 92 = q(1)*a
> x = -2 ==> -8104 = q(2)*(6 + a)
> 
> a divide 90 e 92 ==>
> a divide 2
> a pertence a {-2,-1,1,2}
> 
> 2+a divide 88 ==>
> eliminamos a = -2 e a = 1 ==>
> a pertence a {-1,2}
> 
> 6+a divide -8104 ==>
> eliminamos a = -1 ==>
> a pertence a {2}
> 
> Agora você escolhe: ou divide os polinômios no braço
> ou testa se as raízes de x^2 - x + 2 são raízes de
> x^13 + x + 90.
> Eu testei no PARI e, de fato, a = 2 serve.
> Além disso, conforme a análise acima, é a única
> solução.
> 
> []s,
> Claudio.
> 


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