[obm-l] Trigonometria - O retorno

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do
Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que
do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta
nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
ambas.

Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor.
Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender
a diferença entre combinações e permutações), números
complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu
descobrimento de uma matemática interessante, diferente
do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo
tido como professor.

[]'s
Luís

P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum
necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas
mensagens desta lista façam parte dele.


On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo)

Oi Luís,

Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei,
mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.

Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T.
Sabe-se que:
1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C)
2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
Prova:
cos A + cos B + cos C =
(b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab =
[2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) =
1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)     Q.E.D.

(referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes)

Manda pra lista.

Inté+,

Edu.

_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================