Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Claudio,

Para a turma não versada em seu argumento sobre o fato do heptágono 
não ser construtível com régua e compasso segue o ...

Teorema de Gauss
Um polígono regular de n lados, n impar, é construtível com régua e 
compasso  se e somente se n é produto de primos de Fermat (isto é 
primos da forma 2^2^k +1).  Logo, como os únicos primos de Fermat 
conhecidos são  3, 5, 17, 257 e 65537, o heptágono tá fora... e 
surpreendentemente o 17  tá dentro... !

Abraços,
Nehab


At 12:28 1/10/2006, you wrote:
>---------- Cabeçalho original -----------
>
>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Cópia:
>Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
>Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto
>
> > ...
> > P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
> > Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7   e  -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são
> > as 3 raízes de P(Y).
>
>Gostei!
>E aqui vao dois corolarios:
>Fazendo X = 2Y, obtemos P(Y) = F(X) = X^3 - X^2 - 2X + 1, cujas raizes sao:
>2*cos(pi/7), 2*cos(3pi/7) e 2*cos(5pi/7)
>
>1) Como cos(0) = 1, cos(2*pi/7) = -cos(5*pi/7) e cos(4*pi/7) = 
>-cos(3*pi/7), concluimos que 2*cos(k*pi/7) eh inteiro algebrico para todo k
>em Z.
>
>2) F(1) = -1 e F(-1) = 1 ==> F(X) nao tem raizes racionais ==> F(X) 
>eh irredutivel sobre Q
>Q[x]/<F(x)> eh uma extensao algebrica de grau 3 de Q ==>
>2*cos(pi/7) nao eh construtivel com regua e compasso ==>
>o heptagono regular nao eh construtivel com regua e compasso
>
>[]s,
>Claudio.
>
>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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