Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

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De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

> ...
> P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
> Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7   e  -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são 
> as 3 raízes de P(Y).

Gostei!
E aqui vao dois corolarios:
Fazendo X = 2Y, obtemos P(Y) = F(X) = X^3 - X^2 - 2X + 1, cujas raizes sao:
2*cos(pi/7), 2*cos(3pi/7) e 2*cos(5pi/7)

1) Como cos(0) = 1, cos(2*pi/7) = -cos(5*pi/7) e cos(4*pi/7) = -cos(3*pi/7), concluimos que 2*cos(k*pi/7) eh inteiro algebrico para todo k 
em Z.

2) F(1) = -1 e F(-1) = 1 ==> F(X) nao tem raizes racionais ==> F(X) eh irredutivel sobre Q
Q[x]/<F(x)> eh uma extensao algebrica de grau 3 de Q ==>
2*cos(pi/7) nao eh construtivel com regua e compasso ==>
o heptagono regular nao eh construtivel com regua e compasso

[]s,
Claudio.




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