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Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Oi, Claudio,
Sua sacada do limite para sair do bra�al foi muito legal.... Eu n�o
havia visto uma forma simples de contornar o "algebrismo" que
se avizinhava... e parei. Adorei ! Ah, quando lembro
quanta ferrugem ainda tenho que sacudir dos neur�nios...:-)... Mas chego
l�...
Abra��o,
Nehab
At 14:50 26/9/2006, you wrote:
Aqui vai minha tentativa:
Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Ent�o, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) =
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.
x -> +/-inf <==> |u| -> +inf
lim(|u| -> +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==>
lim(x -> +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a
==>
n = 0 e qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==>
n = 0 e q = m^2 ==>
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==>
Autovalores: m e m^2
T(x,ax^2+bx+c) =
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) =
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==>
bm^2+p = cm e m^2c = b
Se c = 0, ent�o b = p = 0 ==>
T(x,y) = (mx,m^2y) (m <> 0) ==>
Autovalores: m e m^2 (m <> 0)
Se c <> 0, ent�o:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==>
m = +/-raiz(b/c) e p = +/-raiz(bc) - b^2/c ==>
Autovalores: {raiz(b/c) , b/c} ou {-raiz(b/c) , b/c}
Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o v�rtice da par�bola de origem � o ponto:
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato,
pertence � par�bola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas n�o � o v�rtice
desta.
O v�rtice � (-2c,b-c^2).
[]s,
Claudio.
De:
owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
C�pia:
Data:
Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores
Oi, Salhab,
No meu entendimento, o problema n�o sugere que T(x, ax2 + bx
+ c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x,
ax2+bx+c), x real } � o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja,
n�o afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx +
c), o que torna o exerc�cio um pouquinho mais complicado.
Nehab
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