Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Claudio,

Sua sacada do limite para sair do braçal foi muito legal....  Eu não
havia visto uma forma simples de contornar o "algebrismo" que
se avizinhava...  e parei.  Adorei !  Ah, quando lembro
quanta ferrugem ainda tenho que sacudir dos neurônios...:-)... Mas chego
lá...

Abração,
Nehab


At 14:50 26/9/2006, you wrote:

Aqui vai minha tentativa:
 
Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) =
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.
 
x -> +/-inf <==> |u| -> +inf
 
lim(|u| -> +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==>
lim(x -> +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a ==>
n = 0  e  qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==>
n = 0  e  q = m^2 ==>
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==>
Autovalores: m e m^2
 
T(x,ax^2+bx+c) =
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) =
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==>
bm^2+p = cm    e    m^2c = b
 
Se c = 0, então b = p = 0 ==>
T(x,y) = (mx,m^2y) (m <> 0) ==>
Autovalores: m e m^2  (m <> 0)
 
Se c <> 0, então:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==>
m = +/-raiz(b/c)  e  p = +/-raiz(bc) - b^2/c  ==>
Autovalores: {raiz(b/c) , b/c}  ou  {-raiz(b/c) , b/c}
 
Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origem é o ponto:
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato, pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice desta.
O vértice é (-2c,b-c^2).
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300
Assunto: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores
Oi, Salhab,

No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}.  Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.

Nehab