Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Aqui vai minha tentativa:

 

Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).

Então, dado x em R teremos:

T(x,ax^2+bx+c) =

(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) =

(u,au^2+cu+b), para algum u em R.

 

x -> +/-inf <==> |u| -> +inf

 

lim(|u| -> +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==>

lim(x -> +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a ==>

n = 0  e  qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==>

n = 0  e  q = m^2 ==>

T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==>

Autovalores: m e m^2

 

T(x,ax^2+bx+c) =

(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) =

(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==>

bm^2+p = cm    e    m^2c = b

 

Se c = 0, então b = p = 0 ==>

T(x,y) = (mx,m^2y) (m <> 0) ==>

Autovalores: m e m^2  (m <> 0)

 

Se c <> 0, então:

T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==> 

m = +/-raiz(b/c)  e  p = +/-raiz(bc) - b^2/c  ==>

Autovalores: {raiz(b/c) , b/c}  ou  {-raiz(b/c) , b/c}

 

Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.

Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origem é o ponto:

P = (-2b,c-b^2)

Tomando m = raiz(b/c), teremos:

T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato, pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice desta.

O vértice é (-2c,b-c^2).

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300

Assunto:

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

Oi, Salhab,

No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}.  Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.

Nehab