RES: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Um exemplo de conjunto nao Lebesgue mensuravel de R^n eh o conjunto de
Vitali, obtido da seguinte forma:

Definamos em R^n uma relacao ~ declarando-se x ~ y se x - y estah em Q, o
conjunto dos elementos de R^n com coordenadas racionais. Verificamos
facilmente que ~ eh uma relacao de equivalencia e que, desta forma,
particiona R^n em classes. Com o auxilio do axioma da escolha, em cada uma
destas classes de equivalencia escolhamos um representante v, ficando assim
formado o conjunto V de Vitali. Para mostrarmos que V nao eh mensuravel,
precisamos da conclusao de que, se v_1 e v_2 estao em V e v_1 ~ v_2, entao
v_1 = v_2. Isto eh decorrencia imediata do fato de que elementos distintos
de V estao em classes de equivalencia distintas definidas pela relacao ~ e,
desta forma, nao sao equivalentes.

Baseados em que Q eh enumeravel, tomemos uma enumeracao (r_k) de seus
elementos e, para cada m, seja V_k a translacao racional de V dada por V_k =
r_k + V. Temos que {V_m} eh enumeravel (pois (r_k) eh enumeravel), cobre R^n
e tem seus membros disjuntos 2 a 2. De fato, todo x de R^n eh equivalente a
algum v de V e, portanto, x - v = r_k => x = r_k + v para algum k, do que
deduzimos que todo x de R^n estah em algum V_k. Assim , R^n = Uniao (k>=1)
V_k. (1)

Alem disso, se x estah em V_k e em V_l, entao existem v e v' em V tais que x
= r_k + v = r_l + v' => v - v' = r_l - r_k => v - v' estah em Q => v ~ v' =>
v = v' => r_k = r_l => V_k = V_l, de modo que V_k inter V_l = vazio se k <>
l. 

Admitamos agora que V seja mensuravel. Se isso eh verdade, a invariancia de
m com relacao a translacoes implica que, para todo k, V_k seja mensuravel e
que m(V_k) = m(V). Em virtude de (1) e da aditividade de m, temos entao que
m(R^n) = Soma(k >=1)m(V_k) = Soma(k>=1) m(V). Se m(V) = 0, entao o ultimo
membro destas igualdades se anula, contrariamente ao fato de que m(R^n) =
oo. Temos, portanto, que m(V) > 0, o que implica, conforme jah vimos, que V
- V contenha uma bola aberta centrada na origem. Como todo elemento de de Q
eh ponto de acumulacao de R^n, esta bola contem um elemento q<>0 petencente
a Q. Como q estah tambem em V - V , existem v e v' em V tais que q = v - v'
=> v ~ v' => v = v' => q =0,  contrariando a conclusao anterior de que q <>
0.

A hipotese de que V seja mensuravel leva assim a contradicao, do que
deduzimos que V nao eh mensuravel.     

Depois que conhecemos esta demonstracao, ela ateh parece simples, mas acho
extraordinario que Vitali a tenha bolado saindo do nada!

Um outro fato interessante, que sugiro aos colegas que gostam destas coisas,
eh demonstrar que os conjuntos nao mensuraveis estao "em toda a parte de
R^n". Formalmente falando, isso se traduz pelo seguinte teorema: Todo
conjunto mensuravel com medida positiva contem um conjunto nao mensuravel.
Uma forma de provar isso eh, para A com m(A) >0,  considerar a colecao
enumeravel {A inter V_k}, cuja uniao eh A e que tem membros disjuntos 2 a 2.
Se admitirmos que todos estes membros sao mensuraveis, entao um deles tem
que ter medida postiva, e isto leva a uma contradicao.

Artur   




-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Sandra
Enviada em: quinta-feira, 21 de setembro de 2006 19:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta



Boa noite

Estou estudando um pouco de teoria de medidas, ainda estou bem no começo. Vi
uma afirmaçao e não consegui provar, nem encontrei a prova (talvez esteja
fora de meu alcance): Se A é um conjunto de R^n com medida de Lebesgue
positiva, entao A - A = {x - y | x e y estao em A} contem uma bola aberta de
centro na origem.

Alguem conhece esta demonstração? Exige conhcimentos muito avançados? Eu sei
que ela e usada para demonstrar que existem conjuntos não mensuraveis em
R^n. Esta demonstracao tambem eh muito complicada?

Também ouvi dizer que conjuntos nâo mensuráveis so podem ser obtidos com o
axioma da escolha. Isso é verdade? Se for, isto significa que conjuntos não
mensuráveis existem em tese, virtualmente, mas não tem exstência, assim,
real, concreta? (real aqui no sentido que a palavra tem no uso diário, não
no sentido de número real).

Obrigada.

Sandra




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