Oi Ronaldo
Esta sua argumentacao eh bem interessante. Bem legal.
Quanto aos conjuntos nao Lebesgue mensuraveis, eu conheco duas formulacoes
um tanto semelhantes. Sei que hah uma outra mais complicada, mas de fato,
pelo que já li e ouvi, todas se baseiam no axioma da escolha. Quanto aa
pergunta da Sandra, acho que a questão é mais geral, ou seja: Demonstracoes
baseadas no axioma da escolha sao validas ou sao questionaveis? Parece que
hoje, seculo XXI, quase todos os matematicos aceitam o axioma da escolha sem
reservas. E, de fato, quem nao aceita este axioma nao pode aceitar grande
parte dos teoremas que dizem respeito a espacos metricos e topologicos
gerais, que nao sejam os euclidianos. Por exemplo, em espacos metricos
gerais, as demonstracoes sobe compacticidade sao feitas realizando-se uma
infinidade de escolhas arbitrarias.
Eu diria que conjuntos nao mensuraveis tem existencia "real", embora nao
possamos "construi-los" de forma explicita. E a existencia deles parece que
atrapalha muito pouco a teoria de integracao de Lebesgue.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de rlalonso@lsi.usp.br
Enviada em: sexta-feira, 22 de setembro de 2006 10:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta
>Boa noite
>Estou estudando um pouco de teoria de medidas, ainda estou bem no começo.
Vi
>uma afirmaçao e não consegui provar, nem encontrei a prova (talvez esteja
fora
>de meu alcance): Se A é um conjunto de R^n com medida de Lebesgue positiva,
>entao A - A = {x - y | x e y estao em A} contem uma bola aberta de centro
na
>origem.
Fica mais fácil pensar primeiro em exemplos e generalizar depois.
Suponha primeiro que o conjunto seja limitado (poderia ser ilimitado,
mas deixa isso para pensar depois).
Considere então retângulo no plano de coordenadas (2,3) (4,3) (2,4)
(4,4).
Tome x e y como sendo esses pontos (que são pontos de coordenadas
máximas
ou mínimas).
(2,3) - (4,3) = (-2,0)
(2,3) - (2,4) = (0,-1)
(4,3) - (4,4) = (0,-1)
(2,4) - (4,4) = (-2,0)
(4,3) - (2,3) = (2,0)
(2,4) - (2,3) = (0,1)
(4,4) - (4,3) = (0,1)
(4,4) - (2,4) = (2,0)
Ok. Agora os pontos de máxima ou mínima são (-2,0) (2,0) (0,-1) (0,1)
Como vc pode observar esse retângulo contém a origem.
Nesse exemplo o centro do retângulo vai parar na origem. Mas e se o
conjunto não for um retângulo? Vc pode envolvê-lo num retângulo no caso
bidimensional. Uma idéia para generalizar para dimensões maiores é chamar
o retângulo de "caixa". Daí vc sempre envolve o conjunto numa caixa e
o centro da caixa vai parar na origem quando vc faz as diferenças de
pontos.
Hmmm... Mas para isso o conjunto tem que ser limitado. E tem que ter
medida de Lebesgue positiva. Suponha que o conjunto do plano seja um
fractal (imagine um floco de neve, por exemplo, que tem medida de Lebesgue
zero). Vc pode colocar o floco de neve dentro de uma caixa no plano, e
depois da diferença de pontos o ponto que vai parar na origem pode não
estar no conjunto. Além disso, mesmo que esteja, pode ser um segmento
de reta por exemplo.
> Também ouvi dizer que conjuntos nâo mensuráveis so podem ser obtidos
com
>o axioma da escolha. Isso é verdade? Se for, isto significa que conjuntos
não
>mensuráveis existem em tese, virtualmente, mas não tem exstência, assim,
>real, concreta? (real aqui no sentido que a palavra tem no uso diário, não
no
>sentido de número real).
Parece que sim.
Dá uma olhada nisso:
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox
Parece bizarro não é? Não consegui entender direito ...
Ronaldo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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