Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Bom, eu vou dar o meu palpite também :)

Eu acho que converge. Bom, vou tentar demonstrar. Mas primeiro eu vou
dar a idéia que me veio : ln(1 + x) é alguma coisa como x, para x bem
pequeno. Ora, isso é exatamente o que acontece com o nosso problema
(acho que ninguém duvida que 1/2^n vai ficando bem pequenininho com n
-> infinito) Daí, a soma que você nos deu é "alguma coisa como" a soma
da PG 1/2^n. Claro que tem um monte de erro por aí, mas a primeira
coisa que essa idéia nos dá é que a séria deveria convergir se os
erros nao forem muito grandes. Ainda mais, porque o que a gente está
falando sao termos bem pequenos.

Ótimo, temos uma idéia, e inclusive uma direcao de resposta pra
perseguir. Agora, só falta provar que realmente é isso o que acontece.
Eu vou fazer de 2 jeitos, um mais "informal" mas que funciona bem, e
outro que deve ser a "justificativa" do primeiro.

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Jeito Informal:
A série de Taylor pra log nos dá que ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 -
... = x + O(x^2), o que quer dizer que isso dá x com um erro que tende
a zero como (ou mais rápido do que) x^2 quando x tende a zero. Agora
vamos somar tudo, substituindo o caso em questao. Bom, a parte dos "x"
é a nossa velha PG de soma 1, que todo mundo já viu. A outra agora.
Ela é rigorosamente traduzida como : a partir de um certo valor de x
(em direcao a zero) existe uma constante C > 0 tal que o resto "-
x^2/2 + x^3/3 - ... " é inferior em módulo a C*x^2. Excelente. No
nosso caso, isso quer dizer que existe um n a partir do qual a fórmula
vale. Os outros, a gente ignora, afinal, uma quantidade finita de
termos nao altera o fato de convergir ou nao. Daí a gente tem que
provar que
SOMA n=n_0, infinito C/1/2^(2n) é finita. Mas essa é outra PG, que dá
C/4^(n_0 - 1)/3. E pronto.

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Jeito rigoroso e mais chato
Suponhamos agora que você ficou com a pulga atrás da orelha com o meu
papo sobre O(x^2). É verdade, é bem roubado. Mas aquilo ali em cima é
verdade por causa unicamente da fórmula de Taylor. Mas se o teu
professor nao gosta dessas técnicas, ou se parece pouco rigoroso, aqui
vai uma demo (comprida, cheia de contas e coisas menos interessantes)
pro nosso caso.

Vamos por partes. Já vimos que o único problema é o resto. Entao vamos
provar em etapas que:
1. O resto r_n é negativo pra x < 1
2. O resto é maior do que uma soma de termos negativos (chame essa soma de y_n)
3. Esta soma é maior do que o primeiro termo (chamamos de z_n)
4. A soma dos z_n é finita.

1. Vamos escrever tudo entao :
r_n = SOMA i=2, infinito (-1)^(i-1) * x^i/i = - SOMA i=2, infinito
(-1)^i * x^i/i (isso foi só pra sair o sinal e simplificar a SOMA) = -
SOMA i=2, infinito, pelos i PARES (x^i/i - x^(i+1)/(i+1) ) e como o
quociente dos termos de cada parcela da soma vale
[x^i/i] / [x^(i+1)/(i+1)] = (i+1)/i/x que é 1/x * (i+1)/i que é maior
do que 1 para x menor do que 1 (e maior do que zero) isso nos dá que a
soma é negativa.

2. Sendo a soma negativa, vamos torná-la menor ainda, isso vai
dificultar a convergência da soma de seus termos. Para isso, vou
trocar os denominadores dos termos de ordem ímpar por um maior (de 1).
A soma ficará entao
-x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES (x^(i-1)/i - x^i/i )
= -x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES (x^(i-1)/i - x^i/i )

(isso é -x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 +... vira -x^2/2 +
x^3/4 - x^4/4 + x^5/6 - x^6/6 + ... )

= -x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES x^(i-1)/i ( 1 - x )

3. Observe que a soma agora é positiva, logo podemos descartá-la toda
(queremos apenas provar que dá pra somar, a parte positiva sendo menor
do que a negativa, isso nao é problema... se você quiser, dá pra
majorar a parte positiva por uma PG de termo x^i(1-x) e razao x^2.) e
sobra apenas o termo -x^2/2

4. A soma dos termos -x^2/2, substituindo x = 1/2^n dá  -1/2 * 4/3 =
-2/3 e portanto a  soma original converge.

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Uma outra idéia
Uma idéia derivada da prova acima, que muda de direçao no "1." A gente
provou que a soma é positiva (os logs em questao sao sempre positivos)
e sua parte positiva converge. Ora, a parte negativa, sendo inferior à
positiva termo à termo, também converge (para um valor negativo
inferior ao valor da primeira soma, em módulo) e portanto a sua soma
original também converge.



Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 9/15/06, Douglas Alexandre <prof_dougrod@yahoo.com.br> wrote:
> Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge ou
> diverge.
> Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação??
> Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possui
> exercícios resolvidos?
>
> Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n)
> converge ou
> diverge?
>
> Grato
>
>
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