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x = sqrt(6 + sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
foi essa
que eu quis fazer
Eleve ao quadrado a equação x= sqr...
subtraia da equação x
x^2-x-6=0
raízes -2 e 3 so serve 3 então resposta
3/5
abraços
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, September 12, 2006 11:34
PM
Subject: Re: [obm-l] ajuda
Oi.
Resposta rápida: tá estranha essa pergunta.
Vou
inicialmente explicar pq está estranha essa pergunta, e depois mostrar como a
gente pode reformular ela para que ela tenha sentido e possa ser
respondida.
Quando vc utiliza "..." numa soma, vc precisa deixar bem
claro o que isso significa. Em alguns casos, o significado é evidente, por
exemplo:
x = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Claramente, x é a soma da
PG de razao 1/2, com termo inicial igual a 1.
Então x é um número real, já
que soma de PG com razão menor que 1, em módulo, converge para a_1 / (1 - q).
Em particular, x = 2.
Agora podemos definir um número y = x + 2, pois o
sinal "+" só faz sentido (neste contexto) quando colocado entre números reais.
Quero dizer o seguinte: vc não pode somar 2 a uma coisa que não é um
número, não pode somar 2 a algo que não exista.
Veja:
x =
sqrt(6) + sqrt(6) + sqrt(6) + ...
O jeito mais natural de se definir
esse "..." seria assim: "vai somando sqrt(6) sem parar". Matematicamente,
precisamos dar algum grau de rigor a essa expressão, da seguinte maneira:
Seja a_n uma seqüência definida por a_n = sqrt(6).
Seja agora s_n
uma outra seqüência definida por s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n (note que
aqui o "..." está bem definido e s_n é um número real, que vc pode explicitar
facilmente)
Para evitar usar os "...", vc pode também dizer que s_n = sum
(i=1..n) a_i, ou seja, o n-ésimo elemento da seqüência s_n é a soma dos n
primeiros elementos da seqüência a_n.
Dizemos que s_n é a soma parcial
da série numérica associada à seqüência a_n.
Pra que toda essa
enrolação?
Pra dizer o seguinte: o seu número x = sqrt(6) + sqrt(6) + ...
pode ser definido como o limite da seqüência s_n, quando n tende a infinito.
Agora temos uma definição rigorosa do x.
MAS quanto vale o limite? O
limite não existe, pois não existirá algum número real do qual vc vá se
aproximando ao avançar mais na seqüência s_n, ela vai sempre crescendo
indefinidamente. Então podemos ou dizer que o limite não existe, ou então que
é infinito (que é apenas uma das razões pelas quais um limite pode não
existir).
Assim, o seu "número" x não é um número, e portanto não faz
sentido colocar o sinal de "+" entre x e o 2.
Se vc quiser viajar um
pouco, vc até tem como definir esse x como um número hiperreal (que é uma
extensão dos reais para englobar numeros infinitamente grandes (e inclusive
classifica-los ordenadamente) e infinitamente pequenos), e aí vc diz que x e 2
são números hiperreais e pode fazer todas as suas contas do tipo x + 2 e x /
y.
Mas isso é viagem demais e eu não sei trabalhar com hiperreais.
Esse conjunto já foi discutido há algum tempo aqui na lista, e talvez alguém
com mais conhecimento possa explicar para você.
A gente
pode tentar reformular sua pergunta para dar algum significado e sentido ao
exercício.
Não defina x = sqrt(6) + sqrt(6) + ..., pq, como já vimos, isso
não é número, aí não podemos somar 2 a ele.
Defina entretando o número r_n
como sendo a razão entre os números x_n e y_n, onde:
x_n = sqrt(6) +
sqrt(6) + ... + sqrt(6) (n vezes)
y_n = x_n +
2
Note que agora x_n está bem definido: x_n = n * sqrt(6), que é um
número real, para qualquer n natural.
Da mesma forma, y_n está vem definido
e vale n * sqrt(6) + 2.
Alem disso, definidos, assim, os números de forma
bem parecida com o que vc escreveu, então acho que podemos acordar que seja
uma interpretação razoável para o enunciado.
Então r_n = n*sqrt(6) /
(n*sqrt(6) + 2)
Agora sua pergunta é: quanto vale lim (n->oo)
r_n?
Para calcular tal limite, divida por n em cima e em baixo e use
propriedades básicas de limite:
r_n = sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n), para todo
n >= 1.
lim sqrt(6) / (sqrt(6) + 2/n) = 1, já que 2/n tende a 0 e o
denominador tende portanto a sqrt(6), e o numerador tende a
sqrt(6).
Outra maneira de reformular a pergunta, usando uma
interpretação semelhante àquela do Tio Cabri, é escrever:
x = sqrt(6 +
sqrt(6 + sqrt(6 + ...))).
Acho que há 2 ou 3 semanas houve aqui na lista
uma discussão a respeito de como calcular o valor desse tipo de seqüências, em
que falei de um teorema pra isso. Procure nos seus arquivos, ou nos do site do
Prof. Nicolau, moredador da lista. O endereço está no final do
email.
Abraço
Bruno
ps: tio cabri, definindo
x_n = sqrt(6) . sqrt(6) . ... . sqrt(6), e y_n = x_n + 2, temos:
r_n = x_n
/ y_n = sqrt(6)^n / (sqrt(6)^n + 2)
Divida por sqrt(6)^n, em
cima e em baixo:
r_n = 1 / (1 + 2 / sqrt(6)^n)
Logo, o limite também é
igual a 1, e não 3/5.
Acho que vc quis dizer que fez o exercício como
se fosse sqrt(6*sqrt(6*sqrt(6* ... ))). O jeito de resolver isso, "estando no
bar", é fazer:
x^2 = 6 * sqrt(6 * sqrt(6 * ...)) = 6x
Então x = 0 ou x
= 6, aí y = 8, e a razão é 8/6 = 4/3.
Para justificar isso, veja a
discussão a que me referi acima.
On 9/12/06, Aron
<tiaron@oi.com.br> wrote:
Olá
alguém sabe como resolver esta?
Se x=sqrt(6)+sqrt(6)+sqrt(6)+... e y=x+2, então qual é a
razão entre x e y?
grato.
Aron
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
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