RES: [obm-l] Convergencia de serie

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho que estah certo sim.

 

Outra forma de mostrarmos isto, inclusive para um caso um pouco  mais geral. é:

 

Seja a_n uma seqüência de termos positivos e seja k >0. Entao, Sum (n=1..oo) a_n / (k + a_n) converge  se, e esomente se, Sum(n=1..oo) a_n converge.

 

Para todo n, temos que k + a_n > k => 0 <  a_n/(k + a_n) < a_n/k. Se Sum(n=1..oo) a_n converge para algum real a, entao, Sum(n=1..oo) a_n/ k = a/k. Por comparacao, concluimos que Sum (n=1..oo) a_n / (k + a_n) converge para algum real  b <= a/k.

 

Suponhamos agora que Sum(n=1..oo) a_n divirja (indo, então, para oo). Se lim a_n = 0, entao para n suficientemente grande obtemos 0 < a_n < k => k + a_n < 2k => a_n/(k + a_n) > a_n/(2k). ComoSum(n=1..oo) a_n diverge, o mesmo ocorre para Sum(n=1..oo) a_n/(2k). Por comparacao, concluimos que  Sum (n=1..oo) a_n / (k + a_n) diverge. Se lim a_n = 0 nao  se verificar, entao, para algum v >0, a desigualdade , a_n >= v ocorre para uma infinidade de indices n. Verificamos que  a_n / (k + a_n) = 1 - k/(k+ a_n)  cresce com a_n de modo que a desigualdade a_n / (k + a_n) >= v/(1+v) > 0 verifica-se tambem para uma infinidade de indices de n, do que deduzimos que a condicao lim a_n/(k + a_n) = 0, necessaria aa convergencia da serie, nao ocorre. Logo, Sum (n=1..oo) a_n / (k + a_n) converge 

 

Artur

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: terça-feira, 29 de agosto de 2006 23:17
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Convergencia de serie

Oi, gente.

Vejam o seguinte probleminha:

Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge.


Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é:
Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n converge.
(todos os limites serão tomados para n --> oo)
Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps > 0, existe n0 tal que n > n0 ==> a_n / (1 + a_n) < eps
<==> a_n < eps + a_n * eps <==> a_n(1 - eps) < eps <==> a_n < eps / (1 - eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno. Então concluimos que lim a_n = 0.
Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos:
lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 + a_n). Assim, sum a_n converge.
Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente ==> sum a_n convergente.
Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente ==> sum a_n / (1 + a_n) divergente.

Tá certo isso??
Se sim, tem algum jeito mais simples?

Abraço
Bruno


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Bruno França dos Reis
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