[obm-l] desigualdades

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

E esta aqui? Fonte: CRUX 31 (2005), p.216

Let n be a positive integer. Determine the smallest possible sum

a_1b_1 + a_2b_2 + .... + a_{2n+2}b_{2n+2},

where a_1, a_2, ..., a_{2n+2} and b_1, b_2, ...., b_{2n+2}

are rearrangements of the binomial coefficients

binom{2n+1}{0}, ..., binom{2n+1}{2n+1}.

Justify your answer.

[]'s
Luis

>From: "Leonardo Borges Avelino" <topgun.lba@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: obm-l
>Date: Fri, 25 Aug 2006 01:36:48 -0300
>
>Opa Nehab.. td bem??
>eu tenho este artigo sim do Antônio Caminha, que por sinal é excelente....
>eh q eu peguei um artigo do Kedlaya e tava vendo umas coisas q nunca
>vi, como desomogeinizar e tudo, peguei pra resolver algumas questões
>da lista do Hojoo Lee, essas q postei, soh q sem usar coisas mto
>malucas..
>Aih fico sem saber se estão todas certas e tal..
>Eu conheço desigualdades de médias, potenciais, Chebyshev, rearranjo,
>cauchy-Shwarz, Jensen, e estava aprendendo outras aqui como
>bunching... Gostaria de saber quais eu preciso saber pra que eu
>consiga resolver um número grande de desigualdades..
>Ah e saber também se as soluções estaum corretas..
>grato
>
>Em 25/08/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab<carlos@nehab.net> escreveu:
>>Oi, Leonardo,
>>
>>Aumente sua coleção com
>>http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc  (você vai gostar) e
>>verá que o uso da "desigualdade das médias" (como você usou) e a
>>desigualdade de Schwarz  é uma forma extremamente eficaz para provar
>>desigualdades "olímpicas" não muito cabeludas...
>>
>>Nehab
>>
>>At 22:46 24/8/2006, you wrote:
>> >Caros amigos da lista...
>> >Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
>> >do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
>> >gostaria de ver outras soluções também)
>> >
>> >1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
>> >a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  >= a+b+c
>> >
>> >fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
>> >fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
>> >teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
>> >saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
>> >fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
>> >com igualdade sss a=b=c.
>> >
>> >2) (Rússia 1995) (x,y>0)
>> >
>> >1/(xy)  >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)
>> >
>> >sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y  temos  1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
>> >multiplica-se x em ambos os membros
>> >1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
>> >e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
>> >somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.
>> >
>> >3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b>0)
>> >
>> >    a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3
>> >
>> >Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
>> >vem:
>> >1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
>> >tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4  que o devemos 
>>provar,
>> >mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 >= 2sqrt(ab).
>> >
>> >grato desde já..
>> >Leonardo Borges Avelino
>> >
>> >=========================================================================
>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >=========================================================================
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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