Re: [obm-l]

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Leonardo,

Aumente sua coleção com 
http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc  (você vai gostar) e 
verá que o uso da "desigualdade das médias" (como você usou) e a 
desigualdade de Schwarz  é uma forma extremamente eficaz para provar 
desigualdades "olímpicas" não muito cabeludas...

Nehab

At 22:46 24/8/2006, you wrote:
>Caros amigos da lista...
>Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
>do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
>gostaria de ver outras soluções também)
>
>1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
>a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  >= a+b+c
>
>fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca >= 2 ab/c
>fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
>teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab >= ab/c + ac/b + bc/a
>saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b >= 2 a
>fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
>com igualdade sss a=b=c.
>
>2) (Rússia 1995) (x,y>0)
>
>1/(xy)  >= x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)
>
>sendo x^4 + y^2 >= 2x^2y  temos  1/2x^2y >= 1/(x^4 + y^2)
>multiplica-se x em ambos os membros
>1/2xy >= x/(x^4 + y^2) (*)
>e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx >= y/(y^4 + x^2) (**)
>somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.
>
>3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b>0)
>
>    a^2/(a+1) + b^2/(b+1) >= 1/3
>
>Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
>vem:
>1/(a+1) + 1/(b+1) >= 4/3 q eh o que devemos provar agora
>tirando o mmc vem: 3/(ab+2) >= 4/3 ou seja ab<= 1/4  que o devemos provar,
>mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 >= 2sqrt(ab).
>
>grato desde já..
>Leonardo Borges Avelino
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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