[obm-l] RES: [obm-l] Re: Limite da seqüência a_n = sen n

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Poderia enunciar este lema?
Obrigado
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Leonardo Borges Avelino
Enviada em: quarta-feira, 23 de agosto de 2006 02:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: Limite da seqüência a_n = sen n


Eh o tal do Lema de Kronecker??

Em 23/08/06, Artur Costa Steiner<artur_steiner@yahoo.com> escreveu:
> Acho que sua prova estah legal. Não mostra que a aseq.
> eh densa em [-1, 1], mas mostra que eh divergente.
>
> Alias, na realidade sen(n) eh densa em [-1, 1] e nao
> apenas em [0,1] como disse antes.
>
> A prova do teorema geral baseia -se no fato de que, se
> a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n sao
> inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova baseia-se
> no princiupio da casa dos pombos.
>
> Artur
>
> --- Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:
>
> > Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da
> > lista. Eu bem que
> > imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que
> > levasse a qualquer número
> > de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar
> > isso, acabei por não
> > usar.
> >
> > Minha demonstração foi a seguinte:
> > sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi],
> > onde [x] representa o
> > maior inteiro menor do que ou igual a x. Aí basta
> > escrever algumas
> > desigualdades, e considerar o crescimento de seno e
> > mostrar que todos os
> > temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os
> > termos c_n estão em [-1,
> > -1/2] (a desigualdade é : x - 1 < [x] <= x, então
> > pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 +
> > 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3
> > + 2npi < [pi/2 + 2npi] <
> > pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da
> > forma [pi/6 + 2npi,
> > pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na
> > desigualdade, sem alterar o
> > sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente
> > para -1 < c_n < -1/2.).
> > Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então
> > temos que a_n também o
> > será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n
> > forem convergentes,
> > necessariamente convergem para limites diferentes
> > (b_n --> L em [1/2,1], e
> > c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente.
> > Em todo caso, a_n é
> > divergente.
> >
> > On 8/22/06, Artur Costa Steiner
> > <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> > >
> > >  A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa
> > em [0,1]. Isto eh, todo
> > > elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia
> > de sen(n). Isto eh um
> > > caso partcular de um teorema que discutimos aqui
> > na lista em outubro ou
> > > novembro de 2004.
> > >
> > > Seja f uma funcao continua e periodica de R em R
> > cujo periodo fundamental
> > > p seja irracional. Temos entao que a sequencia
> > (f(n)), n=1,2,3...,eh densa
> > > no intervalo fechado f([0, p]).
> > >
> > > No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo
> > periodo fundamental eh o
> > > irracional 2*pi.
> > >
> > > Artur
> > >
> > >
> > >  -----Mensagem original-----
> > > *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]*Em
> > > nome de *Bruno França dos Reis
> > > *Enviada em:* terça-feira, 22 de agosto de 2006
> > 15:36
> > > *Para:* OBM
> > > *Assunto:* [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n
> > >
> > > Olá.
> > >
> > > Recentemente, me deparei com o seguinte problema:
> > verificar se a seqüência
> > > definida por a_n = sen(n) é convergente ou
> > divergente.
> > >
> > > A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma
> > demonstração para tal
> > > fato, mas acredito que devam ter outras mais
> > bonitas. Alguem conhece ou quer
> > > tentar?
> > > Não vou postar a minha demo agora para deixar quem
> > quiser brincar. Amanhã
> > > eu posto.
> > >
> > > Bruno
> > >
> > > --
> > > Bruno França dos Reis
> > > email: bfreis - gmail.com
> > > gpg-key:
> >
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > > icq: 12626000
> > >
> > > e^(pi*i)+1=0
> > >
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