Re: [obm-l] RES: [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

A prova do teorema geral baseia-se no fato de que, se
a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n>0
sao inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova
baseia-se no principio da casa dos pombos. 

Assumindo-se demonstrado o teorema sobre o conjunto
acima, temos o seguinte:

Para todo y de f([0,p]) existe x em [0,p] tal que y =
f(x). Como p eh irracional, o conjunto P= {m*p + n | m
e n>0 sao inteiros} eh denso em [0,p]. Como x eh ponto
de acumulacao de [0,p] e P eh denso em [0,p], segue-se
que x eh ponto de acumulacao de P. Assim, existe uma
sequencia z_k = m_k * p + n_k em P que converge para x
que tem seus termos distintos 2 a 2.

Em virtude da irracionalidade de p e do fato de que os
m_k e n_k sao inteiros, eh facil demonstrar que as
sequencias m_k e n_k tambem tem seus termos distintos
2 a 2. Assim, podemos escolher uma subsequencia n_k_j
de n_k que seja estritamente crescente. Isto eh
possivel porque n_k eh limitada inferiormente por 1, 
tem uma infinidade de termos distintos e seus termos
sao inteiros. Eh agora imediato que (n_k) eh uma
subsequencia de (n) e que (f(n_k)) e subsequencia de
f(n).

Pela continuidade e periodicidade de f, temos que
f(z_k) = f(m_k * p + n_k) = f(n_k) -> f(x) = y, pois
z_k -> x. Como f(n_k) eh subseq. de f(n), o teorema
fica demosntrado. 

Se vc desejar, posso mandar por email a prova quanto
ao conjunto {m*p + n | m e n>0 sao inteiros}.

Abracos      

Artur

--- Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:

> Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da
> lista. Eu bem que
> imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que
> levasse a qualquer número
> de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar
> isso, acabei por não
> usar.
> 
> Minha demonstração foi a seguinte:
> sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi],
> onde [x] representa o
> maior inteiro menor do que ou igual a x. Aí basta
> escrever algumas
> desigualdades, e considerar o crescimento de seno e
> mostrar que todos os
> temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os
> termos c_n estão em [-1,
> -1/2] (a desigualdade é : x - 1 < [x] <= x, então
> pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 +
> 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3
> + 2npi < [pi/2 + 2npi] <
> pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da
> forma [pi/6 + 2npi,
> pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na
> desigualdade, sem alterar o
> sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente
> para -1 < c_n < -1/2.).
> Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então
> temos que a_n também o
> será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n
> forem convergentes,
> necessariamente convergem para limites diferentes
> (b_n --> L em [1/2,1], e
> c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente.
> Em todo caso, a_n é
> divergente.
> 
> On 8/22/06, Artur Costa Steiner
> <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> >
> >  A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa
> em [0,1]. Isto eh, todo
> > elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia
> de sen(n). Isto eh um
> > caso partcular de um teorema que discutimos aqui
> na lista em outubro ou
> > novembro de 2004.
> >
> > Seja f uma funcao continua e periodica de R em R
> cujo periodo fundamental
> > p seja irracional. Temos entao que a sequencia
> (f(n)), n=1,2,3...,eh densa
> > no intervalo fechado f([0, p]).
> >
> > No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo
> periodo fundamental eh o
> > irracional 2*pi.
> >
> > Artur
> >
> >
> >  -----Mensagem original-----
> > *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]*Em
> > nome de *Bruno França dos Reis
> > *Enviada em:* terça-feira, 22 de agosto de 2006
> 15:36
> > *Para:* OBM
> > *Assunto:* [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n
> >
> > Olá.
> >
> > Recentemente, me deparei com o seguinte problema:
> verificar se a seqüência
> > definida por a_n = sen(n) é convergente ou
> divergente.
> >
> > A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma
> demonstração para tal
> > fato, mas acredito que devam ter outras mais
> bonitas. Alguem conhece ou quer
> > tentar?
> > Não vou postar a minha demo agora para deixar quem
> quiser brincar. Amanhã
> > eu posto.
> >
> > Bruno
> >
> > --
> > Bruno França dos Reis
> > email: bfreis - gmail.com
> > gpg-key:
>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > icq: 12626000
> >
> > e^(pi*i)+1=0
> >
> >
> 
> 
> -- 
> Bruno França dos Reis
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>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
> 
> e^(pi*i)+1=0
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