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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Lim ite da seq��ncia a_n = sen n

Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da lista. Eu bem que imaginei que eu pudesse pegar uma subseq��ncia que levasse a qualquer n�mero de [0,1], s� que como n�o tinha id�ia de como provar isso, acabei por n�o usar.

Minha demonstra��o foi a seguinte:
sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi], onde [x] representa o maior inteiro menor do que ou igual a x. A� basta escrever algumas desigualdades, e considerar o crescimento de seno e mostrar que todos os temor b_n est�o no intervalo [1/2, 1], e que os termos c_n est�o em [-1, -1/2] (a desigualdade � : x - 1 < [x] <= x, ent�o pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 + 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3 + 2npi < [pi/2 + 2npi] < pi/2 + 2npi. Como seno � crescente nos intervalos da forma [pi/6 + 2npi, pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na desigualdade, sem alterar o sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente para -1 < c_n < -1/2.). Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, ent�o temos que a_n tamb�m o ser�. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n forem convergentes, necessariamente convergem para limites diferentes (b_n --> L em [1/2,1], e c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n � divergente. Em todo caso, a_n � divergente.

On 8/22/06, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa em [0,1]. Isto eh, todo elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia de sen(n). Isto eh um caso partcular de um teorema que discutimos aqui na lista em outubro ou novembro de 2004.
 
Seja f uma funcao continua e periodica de R em R cujo periodo fundamental p seja irracional. Temos entao que a sequencia (f(n)), n=1,2,3...,eh densa no intervalo fechado f([0, p]). 
 
No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo periodo fundamental eh o irracional 2*pi.
 
Artur

 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno Fran�a dos Reis
Enviada em: ter�a-feira, 22 de agosto de 2006 15:36
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Limite da seq��ncia a_n = sen n

Ol�.

Recentemente, me deparei com o seguinte problema: verificar se a seq��ncia definida por a_n = sen(n) � convergente ou divergente.

A intui��o nos diz que � divergente. Encontrei uma demonstra��o para tal fato, mas acredito que devam ter outras mais bonitas. Alguem conhece ou quer tentar?
N�o vou postar a minha demo agora para deixar quem quiser brincar. Amanh� eu posto.

Bruno

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Bruno Fran�a dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0



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Bruno Fran�a dos Reis
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