Re:[obm-l] Teoria dos numeros?

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

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Data:

Tue, 01 Aug 2006 14:37:56 -0400

Assunto:

[obm-l] Teoria dos numeros?

> Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito.

>

Estou supondo que m e n são inteiros não-negativos.

 

Por inspeção obtemos as soluções:

m = 0, n = 1 ==> 2^0 + 3^1 = 4

m = 3, n = 0 ==> 2^3 + 3^0 = 9

Aliás, estas são as únicas soluções com m = 0 ou n = 0.

 

Quem conhece o triângulo pitagórico (3,4,5) também acha rápido:

m = 4, n = 2 ==> 2^4 + 3^2 = 25

 

Alguns casos podem ser eliminados via congruências.

 

Por exemplo, se m >= 1 e n é ímpar, então 2^m + 3^n é ímpar.

Além disso, n ímpar ==> 3^n == 3 (mod 8).

Logo:

m = 1 ==> 2^m + 3^n == 2 + 3 == 5 (mod 8).

m = 2 ==> 2^m + 3^n == 4 + 3 == 7 (mod 8)

m >= 3 ==> 2^m + 3^n == 0 + 3 == 3 (mod 8) 

No entanto, o quadrado de um ímpar é sempre == 1 (mod 8).

Conclusão: a única solução com n ímpar é m = 0, n = 1.

 

***

 

n é par (n = 2p, p >= 0) ==>

2^m + 3^(2p) = a^2 ==>

2^m = (a - 3^p)(a + 3^p) ==>

a - 3^p = 2^k   e   a + 3^p = 2^(m-k), com m > 2k ==>

2*3^p = 2^(m-k) - 2^k = 2^k*(2^(m-2k) - 1) ==>

3^p = 2^(k-1)*(2^(m-2k) - 1) ==>

k = 1 (fatoração única em Z) ==>

3^p = 2^(m-2) - 1 ==>

m >= 3

 

m = 3 ==> 3^p = 1 ==> p = 0 ==> n = 0 ==> (m,n) = (3,0)

m = 4 ==> 3^p = 3 ==> p = 1 ==> n = 2 ==> (m,n) = (4,2)

m >= 5 ==>

(fazendo q = m-2, de modo que q >= 3)

2^q = 3^p + 1 ==>

3^p == -1 == 7 (mod 8) ==>

não há soluções neste caso, pois 3^p == 1 ou 3 (mod 8), conforme p seja par ou ímpar

 

Logo, as únicas soluções são (0,1), (3,0) e (4,2).

 

[]s,

Claudio.