Re:[obm-l] numeros perfeitos

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Hm, tem uma solu��o que n�o precisa desses fatos
relativamente avan�ados (de fato, esse problema foi o
problema mais dif�cil da OBM 2005, n�vel 1). Caso
voc�s perguntem, n�o me lembro se algu�m resolveu, mas
me lembro que alguns alunos chegaram muito, mas muito
perto de resolver. Ent�o, como problema mais dif�cil
da prova, eu o considero adequado.

Seja n^2 = 2^(2k)*M^2, em que M � �mpar (note que tudo
o que fizemos � separar os fatores 2 de n^2, n�o
perdemos generalidade aqui). Provaremos que n^2 n�o �
um n�mero perfeito (ou seja, que a soma de seus
divisores positivos n�o � 2n^2) mostrando que a soma
de todos os seus divisores positivos (incluindo n^2) �
�mpar.

Para isso, basta somarmos os divisores �mpares de n^2,
j� que os pares n�o alteram a paridade da soma. Mas os
divisores �mpares de n^2 s�o os divisores de M^2.
Fazemos ent�o os pares {d, M^2/d} de divisores de M^2,
que particionam, junto com o "par" {M, M} = {M}, o
conjunto dos divisores de M^2. Cada par tem soma par,
com exce��o do conjunto unit�rio {M}. Assim, a soma
dos divisores de M^2 � �mpar e, consequentemente, a
soma dos divisores positivos de n^2 � �mpar. Logo n^2
n�o pode ser um n�mero perfeito.

� claro que quam j� conhece a f�rmula da soma dos
divisores de n pode verificar isso imediatamente: tal
soma � s(n^2) = produto(1 + p + p^2 + ... + p^(2k)),
sendo que p � primo divisor de n^2 e p^(2k) � a maior
pot�ncia de p que divide n^2 (o expoente deve ser par
porque n � um quadrado perfeito). Se p = 2, a soma 1 +
p + p^2 + ... + p^(2k) � �mpar; se p � �mpar, como a
soma 1 + p + p^2 + ... + p^(2k) tem 2k + 1 parcelas, �
�mpar. Logo s(n^2) � o produto de �mpares, que �
�mpar.

Agora, eu estou curioso sobre a afirma��o sobre
n�meros perfeitos �mpares. Quando eu tiver algum tempo
vou pensar.

[]'s
Shine

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:

> Os �nicos n�meros perfeitos conhecidos s�o aqueles
> da forma:
> N = 2^(p-1)*(2^p-1) onde p e 2^p-1 s�o primos ==>
> o primo 2^p-1 aparece com expoente 1 na decomposi��o
> de N ==>
> N n�o pode ser quadrado perfeito.
> 
> Para o caso de um n�mero perfeito �mpar (se existir
> algum...) a conclus�o decorre do seguinte resultado,
> cuja demonstra��o eu proponho aqui como um
> exerc�cio:
> Se N for um n�mero perfeito �mpar, ent�o N � da
> forma p^(4k+1)*M^2, onde p � um primo == 1 (mod 4),
> k � um inteiro n�o-negativo e M � um inteiro �mpar
> primo com p.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> C�pia:
> 
> Data:Tue, 25 Jul 2006 13:08:17 +0000 (GMT)
> 
> Assunto:[obm-l] numeros perfeitos
> 
> gostaria de saber como provar que todo numero
> perfeito nunca pode ser quadrado
> perfeito????????????
> 
> 
> 
> O Yahoo! est� de cara nova. Venha conferir!
> 


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