Re:[obm-l] Polinomios

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Como o mestre não respondeu, aqui vai a minha explicação:

 

Em vez de trocar x por x/3 faça x = y/3.

Daí f(3x-2) = 81f(x) vira f(y-2)=81f(y/3).

Fica mais claro assim?

 

E o grau foi obtido comparando os termos de maior grau:

f(y-2) = a_n(y-2)^n +... ==> Termo de maior grau = a_ny^n

81f(y/3) = 81a_n(y/3)^n + ... ==> T. de m. g. =  a_n(81/3^n)y^n

Logo, 81/3^n = 1 ==> n = 4.

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Tue, 25 Jul 2006 18:43:02 +0000 (GMT)

Assunto:

Re:[obm-l] Polinomios

> Ola mestre,

>                   nao entendi pq trocou x por x/3 na expressao do polinomio e como q se obteu o grau do polinomio.

> Grato.

"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:

> > 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. 
>
> x = 1 ==> P(1) = 81P(1) ==> P(1) = 0 ==> P(x) = (x - 1)Q(x)
> P(x - 2) = 81P(x/3)
> Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:
> a_nx^n = 81a_n(x/3)^n ==> n = 4
> Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)
>
> P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) ==>
> P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d)
>
> 81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) ==>
> 81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d)
>
> Igualando coeficientes, teremos:
> -6a+b = 3b
> 12a-4b+c = 9c
> -8a+4b-2c+d = 27d ==>
>
> b = -3a
> c = 3a
> d = -a ==>
>
> P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) ==>
> P(x) = a(x - 1)^4
> onde a = real qualquer nao-nulo.
>
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================

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