[obm-l] RES: [obm-l] bolinha numa parábola

Resposta curtíssima:

Se o raio for maior do que 1/2, entala.

Resposta curta usando Geometria Analítica (método que funciona se as contas não ficarem horríveis):

Um círculo de centro (0,a) passando pela origem tem equação x^2+(y-a)^2=a^2, ou seja, x^2+y^2-2ay=0.

As interseções com a parábola y=x^2 são as raízes de:

x^4+(1-2a)x^2=0, ou seja, x=0 e as raízes de x^2+(1-2a)=0. Mas esta equação tem outras raízes reais se e somente se 1-2a<0, isto é, se a>1/2. Assim, se o raio da bola for > 1/2, a bola apoiada no vértice intersectaria a parábola em outros pontos além da origem. Portanto, ela teria que entalar **acima** do vértice.

Resposta usando Geometria Diferencial (método que funciona mais frequentemente):

A parábola pode ser parametrizada por (t,t^2) onde t é um real qualquer.

Derivando, obtemos o vetor tangente: (1,2t).

Normalizando, o tangente unitário: T=(1,2t)/raiz(1+4t^2)

Rodando 90 graus, o normal unitário: N=(-2t,1)/raiz(1+4t^2)

Derivando, obtemos T'=kN: (-4t,2)/raiz(1+4t^2)^3

Então a curvatura é k = 2/(1+4t^2); o raio de curvatura em cada ponto é 1/k=2t^2+1/2.

Na origem, t=0, e este raio é mínimo e igual a 1/2. Assim, uma bola de raio 1/2 ou menor tangencia a parábola no vértice e em nenhum outro lugar. Uma bola de raio maior que 1/2 vai entalar antes.

Resposta comprida (isto é, vou viajar um pouco, segura aí!):

Eu sabia esta resposta de cor pois está relacionada com um dos objetos que eu estudo: desenhe uma curva fechada simples qualquer contendo uma região. Agora desenhe vários círculos contidos nesta região, cada um deles tangenciando a curva em pelo menos dois pontos (eu diria, círculos "entalados" em algum lugar, ou "maximais"). Os centros destes círculos todos desenham uma outra curva, chamada de EIXO MEDIAL da curva original. É uma espécie de "esqueleto" da região original, e tem aplicações em Visão Computacional. Pois é, o eixo medial da parábola y=x^2 é a semi-reta que vai de (0,1/2) a (0,+Infinito)... Abaixo de (0,1/2), não tem como arrumar um círculo que tangencie a parábola em dois pontos -- você fixa o centro e vai aumentando o raio do círculo até ele bater na parábola, mas ele bate no vértice primeiro, então não toca a parábola em dois pontos, se o raio for maior, ele não está contido na região, então não vale. Este eixo medial (e outros objetos parecidos) são os objetos que uma galera tem estudado em Visão Computacional....

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de ### charles ###
Enviada em: domingo, 25 de junho de 2006 22:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] bolinha numa parábola

Aí galera to querendo saber se uma bolinha rolada sobre uma parábola y = x^2 entala, se não qual o maior raio?