Re:[obm-l] Matrizes

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Thu, 13 Jul 2006 01:47:19 +0000 (GMT)

Assunto:

[obm-l] Matrizes

> a)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^3=4A. Mostre que A+I é inversivel.

Solucao pelo metodo "eu sou burro mas nao sou cego":

Como A^3 - 4A = 0, o polinomio minimo de A tem grau <= 3.

Logo, vale a pena procurar uma inversa para A+I da forma:

xA^2 + yA + zI, jah que termos da forma A^k com k >= 3 podem ter seu grau reduzido em virtude da relacao A^3 = 4A.

(A+I)(xA^2+yA+zI) = I ==>

xA^3 + (x+y)A^2 + (y+z)A + zI = I ==>

(x+y)A^2 + (y+z+4x)A + zI = I ==>

x+y = 0; y+z+4x = 0; z = 1 ==>

x = -1/3; y = 1/3; z = 1 ==>

(A+I)^(-1) = (-1/3)A^2 + (1/3)A + I

***

> b)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^2p - A^(p+1)=3A, onde p é natural. Mostre que A+I é inversivel.

A ideia aqui eh mostrar que nenhum autovalor de A+I eh igual a 0.

Seja k um autovalor (possivelmente complexo) de A+I <==>

existe v em C^n tal que (A+I)v = kv <==>

Av = (k-1)v <==>

k-1 eh um autovalor de A, associado a v.

Assim, 0 eh autovalor de A+I <==> -1 eh autovalor de A.

Mas A eh raiz do polinomio f(x) = x^(2p) - x^(p+1) - 3x ==>

o polinomio minimo de A divide f(x) ==>

cada autovalor de A eh raiz de f(x).

Mas f(-1) = 4 - (-1)^(p+1) <> 0 ==>

-1 nao eh raiz de f(x) ==>

-1 nao eh autovalor de A ==>

0 nao eh autovalor de A+I ==>

A+I eh invertivel.

[]s,

Claudio.