RES: [obm-l] Cj. Cantor

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem
esclarecesse algumas duvidas, fiquei um tanto confuso:

A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou
medida exterior, nao estou certo) de Hausdorff, OK? Se
A eh um conjunto de R^n  eh H_d(A)eh a sua medida
d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de
Hausdorff D(A) eh definida por infimo{d >=0 | H_d(A)
>0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma extensao da
medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes
(volume, aqui, no sentido geral) dos conjuntos da
cobertura, tomam-se as potências d deste volumes,
limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r>0
e , depois , tomando-se o infimo em r>=0 desta somas
de potencias d dos volumes. Assim, para d=1 as medidas
de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?  Se
H_d(A) < oo, entao H_p(A) = 0 para p >d e H_p(A) = oo
para 0<= p <d. Eh isso mesmo?  

O Gugu dise  que existe um conjunto de cantor K com
dimensao de Hausdorff nula e tal que K - K seja um
intervalo. Isto implica que, em R^n, eh possivel que
um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que,
ainda assim,  A- A contenha uma bola, certo?

Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva
(compacto ou nao), entao A - A contem uma bola
centrada na origem e A + A contem uma bola em algum
lugar, certo?

Existe o classico conjunto de Cantor, obtido
removendo-se sucessivamente tercos de intervalos de
[0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
interior vazio. Mas falou-se em "conjuntos de Cantor",
logo existem outros que ateh podem conter intervalos.
Como sao construidas estas generalizacoes do conjunto
basico de Cantor?

Obrigado

Artur


--- gugu@impa.br wrote:

>     Oi Nicolau,
>     Na verdade, estritamente falando, a sua
> afirmação não é verdadeira: 
> é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta
> com dimensão de 
> Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu
> trabalho com o Yoccoz, 
> no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica
> que a maioria 
> (aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos de
> Cantor 
> dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo
> menos de classe 
> C^(1+d), com d>0; para C^1 é genericamente falso) K
> com dimensão de 
> Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior
> não-vazio. Por outro 
> lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados"
> (por exemplo 
> dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff
> menor que 1/2, K-K 
> tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade
> limite (que, para 
> conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão
> de Hausdorff) de K é 
> menor que 1/2. Por outro lado é possível construir
> um conjunto de 
> Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que
> K-K é um intervalo.
>     Abraços,
>                Gugu
> 
> Quoting "Nicolau C. Saldanha"
> <nicolau@mat.puc-rio.br>:
> 
> > On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur
> Costa Steiner wrote:
> >> Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor
> eh exemplo de uma
> >> conclusao interessante. Sabemos que se um
> conjunto A de R^n tem medida de
> >> Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola
> centrada na origem. Mas a
> >> reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e,
> mesmo assim, K - K = [-1,
> >> 1], que eh uma bola em R centrada na origem.
> >
> > Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas
> existe um número a,
> > 0 < a < 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de
> um subconjunto compacto
> > A de R é maior do que a então A-A contem uma bola
> centrada na origem.
> > Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a
> para o qual vale
> > este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue
> deste resultado geral.
> >
> > Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff
> é 1;
> > a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor
> usual)
> > é log 2/log 3 ~= 0.63.
> >
> > []s, N.
> >
> 
> 
> 
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