[obm-l] Re: desigualdades!!!

["Leonardo Borges Avelino" <topgun.lba@xxxxxxxxx>]

Cara.... essa primeira eu fiz assim espero q esteja td ok

Sejam os reais positivos a,b e c, tem-se:

c(a^2-ab+b^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 >= b(a^2+ac+c^2)^1/2  (i)
por simetria podems escrever tb:
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + c(a^2-ab+b^2)^1/2 >= a(b^2+bc+c^2)^1/2  (II)
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 >= c(a^2+ab+b^2)^1/2   (III)

somando I II e III vem:
2c(a^2-ab+b^2)^1/2 + 2a(b^2-bc+c^2)^1/2  + 2b(a^2-ac+c^2)^1/2 >=
b(a^2+ac+c^2)^1/2  + a(b^2+bc+c^2)^1/2  + c(a^2+ab+b^2)^1/2

agora transpondo os termos do segundo membro para o primeiro teremos:
a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] + b[2(a^2-ac+c^2)^1/2 -
(a^2+ac+c^2)^1/2 ] + c[2(a^2-ab+b^2)^1/2 - (a^2+ab+b^2)^1/2 ] >= 0
basta provarmos q cada uma destes fatores saum >=0
Suponha q:  a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] < 0
rearranjado td teremos 3b^2 - 5bc +3c^2 < 0 mas isso equivale a
3(b-c)^2 + bc < 0.. absurdo!!
logo a desigualdade persiste e eh maior q 0... Agora naum consegui
achar qdo ocorre a igualdade...peço ajuda e possíveis correções

Abraço a todos..
Leonardo Borges Avelino


Em 29/06/06, diego andres<diegoandresk8@yahoo.com.br> escreveu:
> gostaria que alguem tambem resolvesse mais essas questoes:
>
> 1)  para quaisquer reais positivos a,b,c mostre que :
>
>     c(a²-ab+b²)^(1/2)+a(b²-bc+c²)^(1/2) >=b(a²+ac+c²)^(1/2)
>
> 2)se  somatorio de xi²=1(sao reais positivos) entao determine o valor maximo
> de:
>
>         n                                                n
>     somatorio[  (xi^5)/(  (somatorio xj) -  xi )  ]
>         i=1                                        j=1
>
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