Re: [obm-l] Convergência de Série

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Para eps>0 arbitrariamente escolhido, o criterio de
Cauchy implica a existencia de um k tal que, se n>=k,
entao a_k + ...a_n < eps. Supondo-se os termos nao
negativos, obtemos (n-k+1)* a_n < eps => n*a_n < eps +
(k-1)*a_n para n>=k. Assim, limsup(n*a_n) <=
limsup(eps + (k-1)*a_n) = lim( eps + (k-1)*a_n) = eps
+ 0 = eps, visto a_n ->0 uma vez que Soma a_n
converge. Para todo eps>0,  temos portanto que 0 <=
limsup (n*a_n) <= eps => limsup(n*a_n) = 0. Como n*a_n
>=0 para todo n, segue-se que lim n*a_n = 0.
Modificando-se um pouco este argumento, poderiamos nos
basear diretamente na definicao de limite.

Este teorema proporciona uma forma interessante e nao
difundida de provarmos que a serie harmonica diverge,
pois, se a_n = 1/n, entao n*a_n = 1 para todo n e a
condicao do teorema naoeh satisfeita. 

Acho que no, problema original, o equivoco do Claudio
foi supor que para n suficientemente grande teriamos
(a_n) < 1/n. Esta condicao tem que ocorrer para uma
infinidae de indices n, mas creio que nao para todos.

Artur 


***

Outro problema interessante do mesmo capitulo do Elon
eh: 
Provar que se (a_n) eh decrescente e SOMA a_n converge
entao n*a_n -> 0.

Mais uma vez a reciproca nao vale. Tome a_n =
1/(n*log(n)).
A condicao de a_n ser monotona tambem eh essencial.
Tome a_n = (-1)^(n)/n.

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