[obm-l] Re: [obm-l] Convergência de Série

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Cláudio,

só por curiosidade, existe um teorema interessante, vejamos:

 

Teorema: SOMA(a_n) converge absolutamente, entao SOMA(a_n^2) converge.

Demonstração:

 

Se SOMA(a_n) converge, entao lim a_n = 0, assim, existe um N tal que n > N implica:

a_n < 1, assim, multiplicando por |a_n| de ambos os lados, temos: a_n^2 < |a_n|.

pelo teste da comparacao, temos que SOMA(a_n^2) converge.

 

abraços,

Salhab

 

 

----- Original Message -----

From: claudio.buffara

To: obm-l

Sent: Wednesday, June 28, 2006 5:46 PM

Subject: [obm-l] Convergência de Série

Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada.

O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução correta.

 

Seja (a_n) uma sequência de números reais.

Prove que se SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n>=1) (a_n)/n também converge.

 

Solução errada:

Como SOMA(n>=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n > n_0 então (a_n)^2 < 1/n, já que a série harmônica diverge.

Logo, para n >= n_0, |a_n| <= 1/raiz(n) ==>

a_n/n <= |a_n|/n <= 1/n^(3/2) ==>

SOMA(n>=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:

SOMA(n>=1) 1/n^(3/2), que é convergente.

 

[]s,

Claudio.