Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2)

["Antonio Neto" <osneto@xxxxxxxxxxx>]

   Amigos, boa noite,

   na verdade, o que eu acho mais eficaz, e que já é conhecido desde 
Euclides, é: sejam m e n inteiros positivos, com m>n. Entao, m^2 - n^2, 2mn 
e m^2 + n^2 será sempre um triângulo pitagórico, com o inconveniente de 
fornecer repetições (triângulos semelhantes). Para eliminar estes casos 
repetidos, acrescente que m e n devem ter paridades diferentes e devem ser 
primos entre si. Aí, dá tudo certo. A ida da demonstração é óbvia, produtos 
notáveis, a volta é mais interessante. Abraços, olavo.


>From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" 
><peterdirichlet2003@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Triângulos Pitagóricos (was:12^2 + 33^2 = 1233^2)
>Date: Tue, 13 Jun 2006 12:09:54 -0300
>
>Desculpe informar mas a formula ai escrita nao serve (acho) para todos os
>triangulos pitagoricos. Sempre tem algum que escapa.
>Para capturar todos eles e necessario usar pelo menos umas duas variaveis
>livres. Se eu nao me engano a formula
>(u^2-v^2)^2+(2uv)^2=(u^2+v^2)^2
>serve, com alguns inconvenientes de produzir numeros repetidos.
>
>Em 09/06/06, rlalonso@lsi.usp.br <rlalonso@lsi.usp.br> escreveu:
>>
>>
>>Oi pessoal, vamos acalmar com calma:
>>    Espero que essa mensagem possa ajudar neste problema (embora
>>possa como todas as minhas outras possa
>>ser apenas um pitaco sem nenhuma utilidade).
>>
>>      Sabemos que:
>>          (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = (n^2 +1)^2
>>
>>    para n natural, n>1 ela dá todos os triângulos pitagóricos.
>>    Ex: n=2 : 3^2 + 4^2 = 5^2 .
>>     A intenção é usar essa identidade para tentar obter quadrados
>>perfeitos naturais da forma Delta^2 =     b^2 - 4ac.
>>        Neste caso usamos:
>>       (n^2 - 1)^2  = (n^2 +1)^2  - (2n)^2
>>         (n^2 - 1)^2 = (n^2 +1)^2 - 4 n^2
>>
>>     Supondo a = 1 (sempre dá para fazer a=1 em uma eq. do 2 grau).
>>       Temos então que ter:
>>         b = n^2 +1
>>         c= n^2       ==> b = c+1
>>
>>      Bom... agora será que dá para aplicar isso à equação em jogo?
>>
>> >100a+b = a^2 + b^2
>> >basta resolver essa eq de 2º grau com relação a a
>> >e temos
>> >a = 50 +- sqrt(2500+b-b^2)
>>
>>    Para não causar confusão vamos trocar a por x e b por y:
>>
>>    100x + y = x^2 + y^2
>>
>>    x^2 -100x +y -y^2 = 0
>>
>>    Construindo o Delta:
>>     Delta^2 = 100^2 - 4*(y-y^2)
>>
>>      com b = 100 e c = y-y^2
>>      como b= c+1
>>      100 = y-y^2 +1
>>
>>    Quais y naturais com 2 algarismos verificam isso?
>>
>>
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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