Re: [obm-l] desigualdades

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

No caso 1, umao forma facil eh usar o teorema do valor
medio, obtendo uma desigualdade ateh mais interessante
do que a apresentada.
Se x>1, a aplicacao do teorema ao intervalo [1, x]
mostra a existencia de um y em (1, x) tal que ln(x) -
ln(1) = ln(x) = (x -1) (ln)'(y)  = (x -1)/y. Como y
>1, 0 < 1/y < 1. E como x -1>0, concluimos que ln(x) <
x -1.
Se x =1, temos ln(x) = x -1 = 0
Se x estah em (0,1), a aplicacao do t. do valor medio
a [x ,1] mostra a existencia de um y em (x , 1) tal
que ln(x) - ln(1) = ln(x) = (x -1)/y . Como x -1 <0 e
1/y > 1, temos que ln(x) < x -1.
Assim, para todo x >0 temos ln(x) <= x-1, com
igualdade sse x =1.  Esta eh uma desigualdade ateh
mais interessante do que a pedida no exercicio, a qual
eh uma decorrencia imediata desta demosntrada.
Poderiamos chegar aa mesma conclusao considerando a
funcao f(x) = (x-1) - ln(x).

Artur


--- Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> wrote:

> Olá,
> 
> 1) Seja f(x) = x - ln(x)..
> f'(x) = 1 - 1/x...
> se x > 1, f'(x) > 0
> se x = 1, f'(x) = 0
> se x < 1, f'(x) < 0
> 
> f(1) = 1 - ln1 = 1
> assim, f(x) > 1 > 0, para todo x > 1... logo: x >
> lnx, para x > 1
> tb temos, f(1) = 1 > 0, logo, podemos extender x >
> lnx, para x >= 1
> para x < 1, f'(x) < 0, logo, é estritamente
> decrescente..
> f(x) -> +inf, qdo x->0, e f(1) = 1 .. logo, a função
> é decrescente de +inf para 1... sempre maior que 0.
> assim:
> x > lnx, para x > 0.
> 
> um outro modo, talvez mais simples, seria derivar
> novamente e concluir que f(1) é ponto de mínimo para
> x>0, e é maior que 0.. logo f(x) > 0 para x>0.
> 
> 2) Seja f(x) = senx - 2x/pi
> f'(x) = cos(x) - 2/pi
> para x E (0, pi/2), 0 < cosx < 1 .. como 2/pi < 1,
> entao, existe um a, tal que cos(a) = 2/pi
> vamos dividir em 3 casos:
> 
> a < x < pi/2 ... entao: cos(x) < cos(a) ... f'(x) <
> 0... entao f(x) é estritamente decrescente...
> mas f(a) = 2/pi > 0 ... e f(pi/2) = 0 ... assim,
> f(x) > 0 ... e senx > 2x/pi, para a < x < pi/2
> 
> 0 < x < a ... entao: cos(x) > cos(a) ... f'(x) >
> 0... entao f(x) é estritamente crescente...
> mas f(0) = 0 ... logo: f(x) > 0, para 0 < x < a...
> 
> x = a .. f'(a) = 0... f''(a) = -sen(a) < 0.. assim,
> a é ponto de máximo em (0, pi/2), logo f(a) > 0.
> 
> deste modo, esta provado que f(x) > 0 para x E (0,
> pi/2).. logo: senx > 2x/pi
> 
> abraços,
> Salhab
> 
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Klaus Ferraz 
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>   Sent: Monday, June 05, 2006 10:12 PM
>   Subject: [obm-l] desigualdades
> 
> 
>   Demonstre as desigualdades:
>   1)lnx< x se x>0 
>   2)senx>2x/pi , se x E (0,pi/2)
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