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Re: [obm-l] Matriz de Binomiais

Eu costumo olhar pra determinantes e cofatores apenas em último caso...
 
Mas A é claramente diagonal inferior e a diagonal consiste só de 1's.
Logo, det(A) = 1 e, portanto, a inversa de A é diagonal inferior com coeficientes inteiros.
 
Olhando casos pequenos, eu conjecturo que B = A^(-1) é tal que:
b_i,j = (-1)^(i+j)*Binom(i-1,j-1).
 
Suponhamos que AB = C = (c_i,j). Então:
c_i,j = SOMA(k=1...n) a_i,k*b_k,j =
(-1)^i * SOMA(k=1...n) (-1)^k*Binom(i-1,k-1)*Binom(k-1,j-1)
 
Se k > i ou j > k, então o k-ésimo termo da soma é zero.
Logo, podemos supor que j <= k <= i e ficamos com:
 
c_i,j = (-1)^i * SOMA(k=j...i) (-1)^k*Binom(i-1,k-1)*Binom(k-1,j-1) 
= (-1)^i * SOMA(k=j...i) (-1)^k*((i-1)!*(k-1)!)/((i-k)!*(k-1)!*(k-j)!*(j-1)!)
= (-1)^i * (i-1)!/(j-1)! * SOMA(k=j...i) (-1)^k/((i-k)!*(k-j)!)
= (-1)^i * (i-1)!/((j-1)!*(i-j)!) * SOMA(k=j...i) (-1)^k * (i-j)!/((i-k)!*(k-j)!)
= (-1)^i * Binom(i-1,j-1) * SOMA(k=0...i-j) (-1)^(k+j) * Binom(i-j,k)
= (-1)^(i+j) * BINOM(i-1,j-1) * SOMA(k=0...i-j) (-1)^k * Binom(i-j,k)
= 0 
(basta ver que a última soma é igual a expansão binomial de (1-1)^(i-j) )
 
Logo, C = I e B é de fato a inversa de A.
 
Mas, como eu disse, eu estou procurando uma demonstração inteligente deste fato. Afinal, tem que haver uma forma macetosa de se inverter uma matriz cujos coeficientes formam um triângulo de Pascal...
 
[]s,
Claudio.
 
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 23 May 2006 11:22:17 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Matriz de Binomiais
> Cláudio eu suspeitaria, em princípio que
> deva existir uma relação de recorrência entre os
> cofatores dessa matriz para você achar uma relação de inversão
> que se manifeste de forma simples. 
>  
>  Vc conhece alguma relação
> de recorrência simples?
>  
>  
----- Original Message -----
From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Monday, May 22, 2006 1:54 PM
Subject: [obm-l] Matriz de Binomiais
>
> Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
>  
> Obs: Naturalmente, vale a convenção: r > s ==> Binom(s,r) = 0.
>  
> ***
>  
> Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
> SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
> com 1 <= r <= n.
>  
> []s,
> Claudio.
>