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Olá,
consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao
cheguei a uma resposta..
1)
Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n),
temos que:
lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... +
ln(1+1/2^n)
é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando
n->inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2 <
1.
sabemos que ln(1+x) <= x .. x>=0
assim: ln(1+1/2^k) <= 1/2^k
logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k)) < 1/2 * (1 -
1/2^n)/1/2 <= 1 - 1/2^n
qdo n->inf, temos: Sum(k=1..inf,
ln(1+1/2^k)) <= 1
assim, lnS <= 1, qdo n->inf
logo: S <= e, qdo n->inf
bom, talvez conseguindo mostrar que S >= e... ou
entao utilizando outra ideia pra concluir a questao.
abraços,
Salhab
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