Eu ainda prefiro uma demonstração combinatória.
Problema: Quantos ternos ordenados (x,y,z) existem cujos elementos
pertencem a {1, 2, 3, ..., n, n+1} e são tais que x > y e x > z?
Solução 1:
Para x = k+1 (k em {1, 2, ..., n}), temos k escolhas para y e k
escolhas para z. Logo, existem k^2 ternos da forma (k+1,y,z) nas condições do
enunciado.
Fazendo k variar de 1 a n, obtemos que o número total de ternos é:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.
Solução 2:
Os ternos (x,y,z) com x > y e x > z são de três tipos:
1. Ternos em que x > y > z
2. Ternos em que x > z > y
3. Ternos em que x > y = z.
Existem Binom(n+1,3) ternos dos tipos 1 e 2 e Binom(n+1,2) ternos do tipo
3.
Logo, o número total de ternos é 2*Binom(n+1,3) + Binom(n+1,2) =
2*(n+1)*n*(n-1)/6 + (n+1)*n/2 =
n*(n+1)*((n-1)/3 + 1/2) =
n*(n+1)*(2n-2+3)/6 =
n*(n+1)*(2n+1)/6
Como ambas as soluções têm que dar o mesmo resultado...
***
Pra soma dos cubos, teríamos que considerar as quádruplas ordenadas
(x,y,z,w) de elementos de {1,2,...,n,n+1} tais que x > y, x > z e x >
w.
Na solução 2, os tipos básicos de quádrupla seriam:
1. x > y > z > w (total de 6 permutações de y, z e
w)
Contribuição = 6*Binom(n+1,4)
2. x > y = z > w (total de 3)
Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
3. x > y > z = w (total de 3)
Contribuição = 3*Binom(n+1,3)
4. x > y = z = w (total de 1)
Contribuição = Binom(n+1,2)
Total = 6*(Binom(n+1,4) + Binom(n+1,3)) + Binom(n+1,2) =
6*Binom(n+2,4) + Binom(n+1,2) =
6*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24 + (n+1)*n/2 =
(n+1)*n/2 * ((n+2)*(n-1)/2 + 1) =
n*(n+1)/2 * (n^2 + n - 2 + 2)/2 =
n*(n+1)/2 * n*(n+1)/2 =
n^2*(n+1)^2/4
No entanto, será que o fato de ser:
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2
não dá margem a alguma demonstração geométrica?
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Mon, 8 May 2006
16:01:17 -0300 |
| Assunto: |
RES: [obm-l]
Somatorios de potencias dos naturais |
> Vou olhar o seu blog assim que tiver tempo para uma avaliação
cuidadosa.
>
> Uma forma de se chegar aa formula para as potências p+1, p inteiro,
dos n
> primeiros inteiros positivos eh usar recorrecia. Sendo Bin(p,k)
=
> p!/(k!*(n-k)*), k=0, 1,... p, temos pelo Binomio de Newton,
temos:
>
> (n + 1)^p = n^p + p*n^(p-1) ....+Bin(p,k)n^k ...+ 1
> (n-1 +1)^p = (n-1)^p + p*(n-1)^(p-1) + Bin(p,k)(n-1)^k ...+ 1
> .
> .
> (1+ 1)^p n = 1 + p....+ Bin(p,k)......+1
>
> Somando-se estas n igualdades e fazendo algumas transformacoes
algebricas um
> tanto bracais, obtemos a soma das potencias p conhecendo-se a
formula das
> potencias de ordem p-1,...1. Isto vai nos mostrar que a soma das
potencias p
> eh dada por um polinomio em n do grau p+1.
> Com um pouco de paciencia e muita atencao para nao errar,
podemos
> generalizar este processo para obter a formula da soma das potencias
de
> ordem p dos n primeiros termos de uma progressao aritmetica.
>
> Uma vez provado que a soma desejada eh um polinomio de grau p+1 em n
( que
> pode ser feito por inducao em p), vc tambem pode chegar aos
coeficientes do
> polinomio atribuindo p+1 valores a n e resolvendo um sistema de
equacoes
> lineares. Tambem exige uma certa dose de paciencia.
>
> De forma simples, eh possivel demonstrar por inducao que S(n,3) =
(S(n,1))^2
> = (n*(n+1)/2)^2
>
> Artur
>
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Bruno Bonagura
> Enviada em: segunda-feira, 8 de maio de 2006 14:33
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
>
>
> Olá pessoal,
>
> Na primeira vez em que vi o somatório 1² + 2² + 3² + ... + n² e sua
> fórmula (1/6)(2n+1)(n+1)n fiquei curioso em tentar demonstrar tal
> fórmula. Isso foi há quase dois anos! Desde então pensava
frequentemente
> no assunto e as vezes procurava sobre ele na internet. Visito alguns
> fóruns de matemática, tanto nacionais como internacionais, e sempre
que
> era questionada demonstração para tal fórmula mostravam aquela que
> utiliza combinação e mais algumas coisas. Confesso que não dei muita
> atenção para tal demonstração, não tive simpatia com ela.
>
> Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos
do
> banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se
já
> foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem
consultar
> algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem
> possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na
> literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu
blog
> (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título "Empilhando
> quadrados".
>
> Vale ressaltar que não estou enviando essa mensagem para a lista
apenas
> para fazer propaganda e conseguir visitas no meu blog. Meu intuito é
> compartilhar conhecimento e receber críticas/sugestões, não a coloco
> diretamente aqui por causa das fórmulas matemáticas e imagens que a
> envolvem.
>
> Bruno Bonagura
>