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Re: [obm-l] RE: solucao IME
oi Paulo,
Agora quem vai pedir desculpas sou eu pela demora.
Vou tentar compilar sua solucao esta semana.
Mas assim que terminar eu te passo
para dar uma olhada (se voce puder, eh claro,
pois jah estou dando muito trabalho).
Gostaria de te agradecer e parabenizar pelas
solucoes. Acho que sao questoes muito
belas (fora da realidade por estarem em
um vestibular, mas isto eh outra historia).
E sua solucao do tetraedro me ensinou bastante.
Vou fechar a versao 9c com a sua solucao
deste problema e disponibiliza-la na net.
Acho que depois disto vou dar uma parada no material do
IME, pois nao tenho mais para onde ir.
Abraco,
sergio
On Sat, 6 May 2006, Paulo Santa Rita wrote:
> Ola sergio e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
>
> Ola Sergio. Demorei a postar a solucao porque antes tive que
> escrever de forma clara. Percebo duas maneiras de fazer. Vou
> apresentar a que me parece mais clara.
>
> Esta solucao usa metodos das Geometrias Euclidiana e Analitica.
>
> IMAGINE dois circulos C1 e C2 tais que a distancia entre os seus
> centros e "d". C1 tem raio "a" e seu centro esta na origem O=(0,0)
> de um sistema de coordenadas cartesiana. C2 tem raio "b" e seu
> centro esta no ponto D=(0,-d). Dado que estes circulos precisam
> ser distintos e exteriores, vamos supor : "a > b" e "d > a+b".
>
> Nao vamos perder tempo com coisas excessivamente triviais. Assim :
> e facil perceber duas coisas acerca da parabola que procuramos : o
> seu eixo de simetria esta contido na reta "e" determinada pelos
> dois centros dos circulos e a equacao Y=f(X) que a caracteriza tem
> minimo, vale dizer, ela e convexa. Segue daqui que se "p" e o
> parametro e "q" a ordenada do vertice, a equacao da parabola tem a
> forma :
>
> 2p( Y - q ) = X^2 => Y = ( (X^2) / (2p) ) + q EQUACAO
> PARABOLICA
>
> Note que o problema consiste em encontrar "p" e "q". Note tambem
> que e facil encontrar a equacao da tangente a parabola num ponto
> arbitrario (X0,Y0). Verifique que ela tem a forma :
>
> Y = (X0 / p)*X + ( q - ( (X0^2) / 2p ) ) EQUACAO 1
>
> Agora, seja K < b um real positivo e S1 e S2 duas secantes tais que
> :
>
> A) S1 nao cruza o segmento OD, intercepta a reta "e" no ponto E,
> determina em C1 e C2 respectivamente as cordas T11 e T12, ambas de
> mesmo comprimento 2K e forma com o eixo OX um angulo agudo.
> B) S2 cruza o segmento OD no ponto F, determina em C1 e C2
> respectivamente as cordas T21 e T22, ambas de mesmo comprimento 2K
> e forma com o eixo OX um angulo agudo.
>
> OBS : A exigencia de "formar com o eixo OX um angulo agudo" e para
> evitar ambiguidades ... de fato, verifique que se a retirarmos
> haverão duas retas - simetricas em relacao a reta "e" - atendendo
> A) e duas atendendo B).
>
>
>
> SECANTE S1
>
> Seja G o ponto onde a perpendicular a T11 tracada por O intercepta
> T11 e H o ponto onde a perpendicular a T12 tracado por D intercepta
> T12. Com esta construcao, e facil ver que :
>
> (a - OG)(a + OG) = (T11/2)^2 => a^2 - (OG)^2 = K^2 =>
> OG = raiz_qua( a^2 - K^2 )
> (b - DH)(b + DH) = (T12/2)^2 => b^2 - (DH)^2 = K^2 =>
> DH = raiz_qua( b^2 - K^2 )
>
> Os triangulos DHE e OGE sao claramente semelhantes. E facil que o
> angulo GOE e igual ao angulo que a secante S1 forma com o eixo OX e
> que o cosseno do angulo GOE = cos(GOE) = (OG - DH) / d. Daqui
> segue imediatamente que :
>
> tangente de GOE = tg(GOE) = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
> PARAMETRO 11
>
> Seja agora DE = z. A semelhanca de triangulos mencionada acima nos
> permite escrever : DH/OG = z/(z+d). Daqui segue imediatamente que :
>
> z + d = ( OG*d ) / (OG - DH ) PARAMETRO 12
>
> Os parametros 11 e 12 nos permitem escrever a equacao reduzida da
> secante S1 :
>
> Y = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG -
> DH ) EQUACAO 2
>
> Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a
> EQUACAO 2 chegamos a conclusao que deve existir na parabola um
> ponto ( X0,Y0 ) tal que :
>
> X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }
> q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG - DH )
>
> Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
>
> { [d / (OG - DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
> EQUACAO FUNDAMENTAL 1
>
>
>
> SECANTE S2
>
> Seja M o ponto onde a perpendicular a T21 tracada por O intercepta
> T21 e N o ponto onde a perpendicular a T22 tracado por D intercepta
> T22. Com esta construcao, e facil ver que :
>
> (a - OM)(a + OM) = (T21/2)^2 => a^2 - (OM)^2 = K^2 =>
> OM = raiz_qua( a^2 - K^2 ) = OG
> (b - DN)(b + DN) = (T22/2)^2 => b^2 - (DN)^2 = K^2 =>
> DN = raiz_qua( b^2 - K^2 ) = DH
>
> Os triangulos DNF e OMF sao claramente semelhantes. E facil que o
> angulo MOF e igual ao angulo que a secante S2 forma com o eixo OX e
> que se fizermos OF = z, a semelhanca destacada nos permite escrever
> : OM/DN = z/(d-z). Daqui segue imediatamente que :
>
> z = OF = (OM*d) / ( DN + OM ) = (OG*d) / (OG + DH ) PARAMETRO 21
>
> Por outro lado, cos(MOF) = OM / OF => cos(MOF) = (OG + DH ) / d.
> Daqui segue imediatamente que :
>
> tangente de MOF = tg(MOF) = raiz_qua{ [d / (OG + DH)] ^2 - 1 }
> PARAMETRO 22
>
> Os parametros 21 e 22 nos permitem escrever a equacao reduzida da
> secante S2 :
>
> Y = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }* X - ( OG*d ) / (OG +
> DH ) EQUACAO 3
>
> Esta secante e tangente a parabola. Comparando a EQUACAO 1 com a
> EQUACAO 3 chegamos a conclusao que deve existir na parabola um
> ponto ( X0,Y0 ) tal que :
>
> X0 / p = raiz_qua{ [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }
> q - ( (X0^2) / 2p ) = - ( OG*d ) / (OG + DH )
>
> Isolando X0 nas duas equacoes e comparando, chegamos a :
>
> { [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH )
> EQUACAO FUNDAMENTAL 2
>
>
> FINAL
>
> Agora basta juntar as equacoes fundamentais 1 e 2 :
>
> { [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG - DH )
> { [d / (OG + DH ) ]^2 - 1 }*p - 2q = (2d*OG) / (OG + DH )
>
> Temos um sistema linear de duas equacoes a duas incognitas.
> Resolvendo-o, verifique que acharemos :
>
> p = ((OG^2) - (DH^2 )) / d = (a^2 - b^2) / d
> q = - ( d^2 + (OG^2 - DH^2)) / d = - (d^2 + a^2 - b^2 ) / d
>
> Substituindo "p" e "q" na EQUACAO PARABOLICA acima teremos a
> parabola que procuramos.
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 7,1220,060506
>
>> From: Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br>
>> To: Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com>
>> Subject: RE: solucao IME
>> Date: Thu, 4 May 2006 15:43:06 -0300 (BRT)
>>
>>
>> oi Paulo,
>> Aqui vai:
>> IME 1982/1983, geometria, 7a questao:
>> Dados dois circulos externos de raios distintos,
>> mostre que o conjunto de secantes que determinam
>> em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
>> secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
>>
>> A unica coisa que consegui ateh agora eh que pela
>> pela simetria do problema, o eixo de simetria da parabola
>> e' a reta que une os centros dos circulos.
>>
>> Abraco,
>> sergio
>
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