Re: [obm-l] Divis�o de polin�mios

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

OOOOps, desculpe. Depois de mandar a mensagem eu vi
que comi mosca. Mostrar que os 2 polinomios tem uma
raiz comum nao prova a divisibilidade de p por g.
Mas vejamos o seguinte. Pelas formulas de soma de PGs,
para x<>1 temos g(x) = (x^10 - 1)/(x-1). Tambem para
x<>1, temos p(x) = (x^1111)^10 - 1)/(x^1111 - 1). As
raizes de g sao, portanto, as raizes decimas de 1 com
excecao do proprio 1. As raizes de p sao as raizes
indice 1111 das raizes 10 de 1, excluindo-se a propria
uniddae. 
Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suas
potencias inteiras tanbem o sao, de modo que toda raiz
de g eh raiz de p. E com isto, agora sim, provamos que
g divide p.
Artur  

--- "J. Renan" <jrenan@gmail.com> wrote:

> Ol� � todos da lista, esse � o primeiro t�pico que
> inicio aqui.  Estudando
> divisibilidade de polin�mios me deparei com o
> seguinte exerc�cio (a fonte
> diz que � IME, mas n�o encontrei esse exerc�cio
> entre os exerc�cios do IME):
> 
> Prove que o polin�mio p(x) = x^9999 + x^8888 +
> x^7777 + ... + x^1111 + 1 �
> divis�vel por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + .... + x^1 + 1
> 
> Creio eu que tenha que utilizar a teoria das
> congru�ncias (mod). agrade�o
> desde j� pela ajuda.
> 
> --
> Um Grande Abra�o,
> Jonas Renan
> 


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