Re: [obm-l] Provas do IME - v9b

[João Luís Gomes Guimarães <joaoluisbh@xxxxxxxxxx>]

Sérgio,
Qual é o link mesmo???


----- Original Message ----- 
From: "Sergio Lima Netto" <sergioln@lps.ufrj.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 03, 2006 11:22 AM
Subject: [obm-l] Provas do IME - v9b


> Caros colegas da lista,
> Incorporei a solucao apresentada
> pelo Jean-Pierre Ehrmann, passada para mim
> pelo Luis Lopes para a questao de 1986/1987, geometria, 9a questao.
> Com isto, gerei a versao v9b do material do IME.
> Quem imprimiu a versao 9 (como eu!), eu sugiro imprimir
> apenas as paginas 202 e 203 da versao ime9b e colocar
> como um anexo do material jah impresso. Para dar o devido
> credito, pode imprimir a pagina 3 tambem.
>
> Para ficar bem clara, a solucao pode
> ser quebrada em 6 passos simples:
>
> i) A partir das condicoes do problema (AB perpendicular a MM'
> e projecao de M' em ABM e' o ortocentro deste triangulo),
> mostrar que as arestas opostas do tetraedro ABMM' sao
> ortogonais duas a duas (o que caracteriza um tetraedro
> chamado de "ortocentrico")
>
> ii) A dificuldade do problema e' que M e M' variam
> e com isto fica dificil caracterizar o tetraedro ABMM' completamente.
> Porem, existe um plano que fica constante independente da variacao
> de M e M'. Vamos usar este plano para ajudar na nossa solucao.
> Este plano e' formado pelos pontos A, B e C, onde C e' o pe',
> em r', da perpendicular comum a r e r'. Note que o plano
> e' fixo pois A, B e C sao fixos.
>
> iii) A partir do resultado (i) acima, mostra-se uma das propriedades
> de um tetraedro ortocentrico: A projecao de um vertice qualquer
> deste tetraedro na face oposta ao vertice e' o ortocentro
> desta face.
>
> Desta forma, prova-se que a projecao de A sobre a face
> BMM' e' fixa, esta' sobre BC e e' o ortocentro de BMM'.
> Logo, o ortocentro de BMM' e' um ponto fixo, independente
> dos deslocamentos de M e M'.
>
> Analogamente, o ortocentro de AMM' e' um ponto fixo,
> dado pela projecao de B em AMM', independente das
> variacoes de M e M'
>
> iv) Usando a reta de Euler (ortocentro, baricentro e
> circuncentro de um triangulo sao colineares) e usando
> o fato de que o ortocentro de BMM' e' fixo sobre BC, mostra-se
> que a projecao do circuncentro de BMM' sobre BC e'
> um ponto fixo.
>
> Analogamente, mostra-se que a projecao do circuncentro
> de AMM' sobre AC e' um ponto fixo.
>
> v) Os circuncentros de BMM' e AMM' sao as projecoes
> do centro O da esfera nestas faces. Com isto, concluimos
> ateh aqui que estas projecoes quando projetadas
> (nao tem como evitar esta frase) em BC e AC sao fixas.
> Logo, a projecao do centro O esfera no plano ABC e' um ponto fixo P.
>
> vi) A partir do resultado (v) acima, conclui-se que
> o lugar geometrico de O e' uma reta ortogonal ao plano
> ABC passando por P. Isto e' uma reta paralela a r'
> passando por P.
>
> Tudo isto eh detalhado no arquivo do ime9b.pdf
> (paginas 202 e 203 da versao 9b). Claro que fica
> mais facil acompanhar esta solucao com figuras.
>
> Agradeco mais uma vez ao Luis Lopes pela grande ajuda.
> Abraco,
> sergio
>
> PS Nao cheguei a incluir a solucao do Paulo Santa Rita.
> Na verdade vou comecar a le-la ainda esta semana.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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