[obm-l] Provas do IME - v9b

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista,
Incorporei a solucao apresentada
pelo Jean-Pierre Ehrmann, passada para mim
pelo Luis Lopes para a questao de 1986/1987, geometria, 9a questao.
Com isto, gerei a versao v9b do material do IME.
Quem imprimiu a versao 9 (como eu!), eu sugiro imprimir
apenas as paginas 202 e 203 da versao ime9b e colocar
como um anexo do material jah impresso. Para dar o devido
credito, pode imprimir a pagina 3 tambem.

Para ficar bem clara, a solucao pode
ser quebrada em 6 passos simples:

i) A partir das condicoes do problema (AB perpendicular a MM'
e projecao de M' em ABM e' o ortocentro deste triangulo),
mostrar que as arestas opostas do tetraedro ABMM' sao
ortogonais duas a duas (o que caracteriza um tetraedro
chamado de "ortocentrico")

ii) A dificuldade do problema e' que M e M' variam
e com isto fica dificil caracterizar o tetraedro ABMM' completamente.
Porem, existe um plano que fica constante independente da variacao
de M e M'. Vamos usar este plano para ajudar na nossa solucao.
Este plano e' formado pelos pontos A, B e C, onde C e' o pe',
em r', da perpendicular comum a r e r'. Note que o plano
e' fixo pois A, B e C sao fixos.

iii) A partir do resultado (i) acima, mostra-se uma das propriedades
de um tetraedro ortocentrico: A projecao de um vertice qualquer
deste tetraedro na face oposta ao vertice e' o ortocentro
desta face.

Desta forma, prova-se que a projecao de A sobre a face
BMM' e' fixa, esta' sobre BC e e' o ortocentro de BMM'.
Logo, o ortocentro de BMM' e' um ponto fixo, independente
dos deslocamentos de M e M'.

Analogamente, o ortocentro de AMM' e' um ponto fixo,
dado pela projecao de B em AMM', independente das
variacoes de M e M'

iv) Usando a reta de Euler (ortocentro, baricentro e
circuncentro de um triangulo sao colineares) e usando
o fato de que o ortocentro de BMM' e' fixo sobre BC, mostra-se
que a projecao do circuncentro de BMM' sobre BC e'
um ponto fixo.

Analogamente, mostra-se que a projecao do circuncentro
de AMM' sobre AC e' um ponto fixo.

v) Os circuncentros de BMM' e AMM' sao as projecoes
do centro O da esfera nestas faces. Com isto, concluimos
ateh aqui que estas projecoes quando projetadas
(nao tem como evitar esta frase) em BC e AC sao fixas.
Logo, a projecao do centro O esfera no plano ABC e' um ponto fixo P.

vi) A partir do resultado (v) acima, conclui-se que
o lugar geometrico de O e' uma reta ortogonal ao plano
ABC passando por P. Isto e' uma reta paralela a r'
passando por P.

Tudo isto eh detalhado no arquivo do ime9b.pdf
(paginas 202 e 203 da versao 9b). Claro que fica
mais facil acompanhar esta solucao com figuras.

Agradeco mais uma vez ao Luis Lopes pela grande ajuda.
Abraco,
sergio

PS Nao cheguei a incluir a solucao do Paulo Santa Rita.
Na verdade vou comecar a le-la ainda esta semana.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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