RE: [obm-l] 2 questoes do IME

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

oi Paulo,
Salvei sua msg. Na verdade, eu recebi duas copias,
pois a primeira, via lista obm-l chegou sim.

A sua solucao, analitica parece bem intensa.

Eu passei o fim-de-semana destrinchando uma
solucao que o Luis Lopes me enviou (solucao
esta, fornecida a ele por um colega Jean-Pierre
de outra lista). A solucao do Jean-Pierre eh por
geometria e com uns 3 ou 4 lemas a gente consegue
coloca-la num nivel acessivel. Eu jah entendi a solucao
dele e estarei hoje ainda comecando a passa-la para o papel.
Deve me ocupar uns 2 dias, tamanho eh a quantidade
de informacao necessaria para se compreende-la.

Vou dar uma olhada na sua questao esta semana,
pois quero le-la com calma.
Grande abraco,
sergio

On Sun, 30 Apr 2006, Paulo Santa Rita wrote:

> Ola Sergio e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> ( escreverei sem acentos )
>
> Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei 
> que o seu excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo 
> mesmo espirito que rege a comunidade Software Livre - e voltado 
> sobretudo para estudantes que farao o vestibular IME, dai eu ter me 
> esforcado para usar apenas conhecimentos de nivel medio e ser tao 
> detalhista quanto possivel.
>
> Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma 
> forma, pode usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que 
> fonte. Da uma revisada nos calculos porque eu nao olhei duas vezes 
> para um mesmo lugar. Havendo tempo eu faco a (iii) e publico aqui.
>
> Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
>
> Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas 
> cartesianas conveniente. Para tanto, consideraremos que a
> reta " r " que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o 
> plano OXZ e perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo 
> este ponto medio a origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue 
> imediatamente que :
>
> A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum "a" real.
>
> Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar 
> geometrico dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem, 
> inevitavelmente, o plano onde residira o lugar geometrico que 
> buscamos, pois todo centro de esfera circunscrita ao tetraedro e, 
> em particular, equidistante de A e B.
>
> Agora, continuando, para caracterizar a reta " r ' " ortogonal a 
> "r" e na qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
> r' = { (b,c,z) ; "b" e "c" reais fixos com "b" diferente de zero e 
> "z" variando nos reais }
>
> E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que 
> fixado um M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M - 
> pois trata-se do ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e 
> precisamente o ortocentro destre triangulo. Por outro lado, e facil 
> ver que se aproximanos M=(b,c,W) de (b,c,0) o ponto M' tende ao 
> infinito, ou seja, subira ou descera muito. Visualizar estas coisa 
> e importante para o que segue.
>
> VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao, 
> imagine W < 0. Para ter uma visao global previa, considere as 
> questoes seguintes :
>
> 1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita 
> ao tetraedro ABMM' ?
>
> SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as 
> arestas do tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema 
> formado por estas equacoes. Como isso pressupoe saber previamente 
> as coordenadas do ponto M ' tem sentido perguntar ...
>
> 2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
>
> SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular 
> ao plano que contem este triangulo. A intercecao desta 
> perpendicular com a reta r' me fornecera as coordenadas de M'. Como 
> isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ortocentro do 
> triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
>
> 3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
>
> SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM. 
> Se R e o ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados, 
> constituindo a RETA DE EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com 
> esta relacao fica facil calcular as coordenadas do ortocentro. Como 
> isso pressupoe saber previamente as coordenadas do baricentro e do 
> circuncentro, tem sentido perguntar ...
>
> 4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
>
> SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas, 
> pois trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices 
> do triangulo. Para ver como calculamos o circuncentro basta 
> perceber que o plano Y=0 e um plano perpendicular a AB pelo seu 
> ponto medio, em virtude do sistema cartesiano que adotamos acima. 
> Assim, tracamos dois plano respectivamente perpendiculares AM e BM 
> pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema formado pelas 
> equacoes dara o circuncentro.
>
> Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes 
> acima foi a forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar 
> uma visao panoramica e previa do que farei. Desta forma a sequencia 
> de calculos vai adquirir sentido. Note que os calculos podem ser 
> muitos, mais a ideia e simples, como era de se esperar em problemas 
> deste nivel. Entao, maos a obra !
>
> OS DADOS BASICOS :
>
> A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta "r", 
> identificada com o eixo OY.  O plano Y=0 corta AB no seu ponto 
> medio. A distancia entre as retas "r" e "r' " sera "b", um real 
> positivo e nao nulo. A distancia de r' ao plano Y=0 sera "c". Sobre 
> r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)
>
> ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :
>
> O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera 
> (b,c-a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e 
> perpendicular a AM e dada por : [ (X,Y,Z)  -  (b/2, (c+a)/2, W/2) 
> ].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita, 
> ficara :
>
> bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2         EQUACAO 
> 1
>
> O ponto medio de BM e (b/2, (c-a)/2, W/2). O vetor BM=M-B sera 
> (b,c+a,W). Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e 
> perpendicular a BM e dada por :  [ (X,Y,Z)  -  (b/2, (c-a)/2, W/2) 
> ].(b,c+a,W) = 0. Fazendo os calculos e colocando numa forma bonita, 
> ficara :
>
> bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2         EQUACAO 
> 2
>
> O Circuncentro esta no plano do triangulo ABM. Precisamos portanto 
> encontrar a equacao do plano que contem este triangulo. Nada mais 
> facil : os vetores MA=A-M e MB=B-M sao respetivamente (-b,a-c,-W) e 
> (-b,-a-c,-W) e, portanto, o produto vetorial entre eles e : MA x MB 
> = -2a(W,0,-b). Segue daqui que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao 
> plano. Logo, a equacao que buscamos sera  :
>
> [(X,Y,Z) - M].(W,0,-b) = 0
> [(X,Y,Z) - (b,c,W)].(W,0,-b)=0  => WX - bZ = 0 
> EQUACAO 3
>
> Montando o SISTEMA ( vou me referir a este sistema mais abaixo ) :
>
> Y=0
> WX - bZ = 0
> bX + (c+a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2
> bX + (c- a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2
>
> Resolvendo-o, achamos :
>
> C = circuncentro de ABM = (1/(b^2 + W^2) )*[(b^2 + W^2)/2  +  (c^2 
> - a^2)/2]*(b,0,W). Para facilitar os calculos representarei a 
> expressao 1 + ( (c^2-a^2)/(b^2 + W^2) ) por L.  Assim : C = 
> L*(b/2,0,W/2). As coordenadas do baricentro sao facilmente 
> calculaveis, pois, como todos sabem, elas sao  as media aritmetica 
> das respectivas coordenadas dos vertices do triangulo. Logo :
>
> D= baricentro de ABM = (b/3, c/3,W/3)
>
>
> ENCONTRANDO O ORTOCENTRO DO TRIANGULO ABM :
>
>
> Tendo C e D fica facil calcular R, as coordenadas do ortocentro do 
> triangulo, pois R, D e C estao alinhados formando a chamada RETA DE 
> EULER, o baricentro sempre fica entre o circuncentro e o ortocentro 
> e a distancia do ortocentro ao baricentro e duas vezes a distancia 
> do circuncentro ao baricentro. Em termos de vetores : R - D = -2(C 
> - D). Logo :
>
> R = D - 2(C - D) => R = 3D - 2C = (b,c,W) - L*(b,0,W) = (0,c,0) + 
> (b,0,W) -L*(b,0,W) =>
> R = (0,c,0) + (1-L)*(b,0,W) = (0,c,0) + ( (a^2 - c^2) / (b^2 + W^2) 
> )*(b,0,W)
>
> ENCONTRANDO O PONTO M ' :
>
> Agora vamos tracar por R uma reta perpendicular ao plano que contem 
> o triangulo ABM. A intersecao desta reta com a reta r' sera o ponto 
> M'. Acima, calculamos que o vetor (W,0,-b) e perpendicular ao 
> plano. A equacao da reta que procuramos sera:
>
> (X,Y,Z) - R = t*(W,0,-b)   onde "t" varia nos reais.
> (X,Y,Z) = R + t*(W,0,-b).
>
> Procuramos "t" real tal que (X,Y,Z) esteja  na reta r ' , vale 
> dizer, X=b e Y=c. Fazendo os calculos chega-se facilmente ao valor 
> t = (L/W)*b. Usando-o para calcular  Z chegamos a :
>
> Z= ( a^2 - b^2 - c^2) / W
>
> Fazendo a^2 - b^2 - c^2 = K, chegamos ao famigerado ponto M ' : M ' 
> = (b, c, K / W )
>
> ENCONTRANDO O CENTRO DA ESFERA CIRCUNSCRITA AO TETRAEDRO ABMM '  :
>
> Considerando o SISTEMA montado acima, e facil ver que se retirarmos 
> a exigencia da solucao estar no plano que contem o triangulo ABM, 
> vale dizer, se retirarmos a equacao WX - bZ = 0, a solucao do 
> sistema resultante sera :
>
> Y=0
> bX +  WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2 
> EQUACAO 4
>
>
> Esta reta e perpendicular ao plano AMB pelo circuncentro do 
> triangulo ABM, isto e,  contem TODOS os pontos ( e somente eles ! ) 
> equidistante dos vertices A, B e M. Isto posto, fica claro que para 
> encontrarmos o centro da esfera que circunscreve o tetraedro ABMM ' 
> basta tracar um plano perpendicular a qualquer das arestas AM', BM' 
> ou MM' e fazer a interseccao deste plano com a reta da EQUACAO 4 
> acima. Fazendo isso :
>
> O ponto medio de MM ' e ( b, c, (K/2W) + W/2 ). O vetor MM ' e 
> (0,0, (K / W) - W ). Logo, o plano que contem o ponto medio e e 
> perpendicular ao vetor  AM ' tem a equacao :
>
> [(X,Y,Z) - (b,c,(K /2W) + W/2 )].(0,0,(K / W) - W ) = 0
>
> Desenvolvendo, achamos :
>
> Z = (1/2)*( (K/W) + W )      EQUACAO 5
>
> Juntando as EQUACOES 4 e 5,  resulta o sistema :
>
> Y=0
> bX +  WZ = (b^2 + W^2)/2  +  (c^2 - a^2)/2
> Z = (1/2)*( (K/W) + W )
>
> Resolvendo este sistema, achamos :
>
> X = -K/b .
> Z = (1/2)*( (K/W) + W )
>
> Variando W temos os pontos procurados. Segue que o lugar geometrico 
> dos centros das esferas circunscritas ficara :
>
> LG = { (X,Y,Z) = ( -K / b , 0, (W/2) + (K/2W ) tais que W varia ao 
> longo dos reais e e nao nulo }
> Aqui, conforme dissemos acima,  K=a^2 -b^2 - c^2   e "a" e a metade 
> das distancia entre os pontos originais A e B e "b" e a distancia 
> entre as retas ortogonais "r" e "r ' " ( "a" e "b" sao nao nulos, 
> portanto )
>
> A imagem geometrica sera uma reta ou duas semi-reta. Para ver isso 
> claramente, note que :
>
> (W/2) + (K/2W) = z  => W^2 -2zW + K = 0
>
> Uma tal equacao so tem solucao W real ( as unicas que estamos 
> considerando aqui ) se z^2 - K >= 0. Logo, se ocorrer que K=a^2 - 
> b^2 - c^2 =< 0, todo z servira e a imagem sera uma reta. Se K=a^2 - 
> b^2 - c^2 >0, deveremos ter z^2 >= K. Daqui segue que z =< - 
> raiz_quadrada(K) ou z >= raiz_quadrada(K), ou seja, duas 
> semi-retas.
>
>
> OBS : A grandeza K=a^2 - b^2 - c^2 parece ser importante no 
> contexto deste problema. Se K > 0, nenhuma esfera circunscrita a 
> qualquer dos infinitos tetraedros construtiveis tera centro em 
> (-K/b,0,z) se :
>
> - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K)
>
> Por que isso ocorre  ?
>
> Seja z  tal que - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K). E facil 
> ver que a distancia  "d" de (-K/b,0,z) ao ponto A=(0,a,0) e tal que 
> d^2 = z^2 + a^2 + (-K/b)^2. Mas z^2 < K = a^2 - b^2 - c^2 => z^2 + 
> a^2  < 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + b^2 + c^2  =>
> z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2c^2 +c^2 + (-K/b)^2 => 
> z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < b^2 + 2K +(-K/b)^2 + c^2 =>
> z^2 + a^2 + (-k/b)^2 < (b + |-K/b|)^2 + c^2 . Seja f^2 =(b + 
> |-K/b|)^2 + c^2 .
>
> E facil ver que se tracarmos por (-K/b,0,z) um plano perpendicular 
> a reta X=-K/b, este plano cortara a reta r' em um ponto "p" tal que 
> a distancia de (-K/b,0,z) a "p" e precisamente "f", vale dizer, a 
> distancia de (-K/b,0,z) ate A=(0,a,0) e menor que a distancia de 
> (-K/b,0,z) a QUALQUER PONTO da reta r'. Logo, (-K/b,0,z) jamais 
> podera ser equidistante de A e de dois outros pontos M e M' 
> residentes em r'. Logo, nenhuma esfera circunscrita ao tetraedro 
> ABMM' podera ter centro em
> (-K/b,0,z) se  - raiz_quadrada(K) < z < raiz_quadrada(K).
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 1,2015,300406
>
>> From: Sergio Lima Netto <sergioln@lps.ufrj.br>
>> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] 2 questoes do IME
>> Date: Fri, 28 Apr 2006 08:31:04 -0300 (BRT)
>> 
>> 
>>> Em tempo : Quais sao as duas questoes que estao sem resposta ? 
>>> Voce pode apresentar os enunciados aqui ?
>> 
>> Na versao 8, havia 3 questoes que eu nao
>> tinha conseguido responder (considerando apenas
>> o periodo de 2006/2005 a 1977/1978 - pois se considerarmos
>> todo o periodo atualmente incluido, existem "infinitas"
>> questoes)
>> 
>> Sao elas (as questoes nao resolvidas anteriormente):
>> (i) 1986/1987 geometria, 9a questao
>> (ii) 1985/1986 geometria, 6a questao, item (b)
>> (iii) 1982/1983 geometria, 7a questao
>> 
>> Em uma msg anterior eu havia postado as questoes (i)
>> e (ii) e o Luis Lopes, desta lista, as postou
>> em outra lista obtendo diversas (mesmo!) respostas.
>> Com isto a questao (ii) ja aparece resolvida na versao 9
>> (pagina 208). Ontem mesmo o Luis Lopes me
>> enviou uma solucao para a questao (i). Eu ainda nao
>> dei uma olhada na solucao para ver se eu entendo.
>> Aparentemente esta bem detalhada, mas eh que
>> minha geometria eh bem basica mesmo (como voces
>> podem perceber pelas solucoes que eu incluo, onde
>> eu acabo deduzindo uma serie de propriedades
>> que "estao no sangue" de qualquer geometra). De qualquer forma,
>> vou postar as questoes (i) e (iii) que nao
>> tem solucao na versao 9. Solucoes para (i) e (iii)
>> sao definitivamente bem-vindas.
>> 
>> (i) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares.
>> Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r'
>> dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de
>> M' sobre o plano que contem o triangulo MAB e' o
>> ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico
>> dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'.
>> 
>> (iii) Dados dois circulos externos de raios distintos,
>> mostre que o conjunto de secantes que determinam
>> em ambos cordas iguais, e' tal que, cada uma dessas
>> secantes e' tangente a uma parabola, que se pede identificar.
>> 
>> Abraco,
>> sergio
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =========================================================================
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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