[obm-l] Re: [obm-l] Re: Provar: Conjunto fechado, limitado e NÃO compacto

["Ronaldo Luiz Alonso" <rlalonso@xxxxxxxxxx>]

Olá Arthur:

> Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas
> sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a
> sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos
> demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia
> (sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de
> V.  Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na
> posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais,
> de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma
> subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma
> subsequencia eh convergente.

      Acredito que esse tipo de espaço, proporciona um exemplo bastante não 
natural.
Como seria  geométricamente um tal conjunto?

                                            Enquanto estava lendo a 
demonstração
acima, imaginei o seguinte:  Cada uma dos elementos da seqüência (de 
sequencias) poderia ser
identificado com um ponto em R^{infinito} (pois temos infinitas 
coordenadas).
    Como todos os e_i possuem pelo menos uma coordenada não nula na bola 
unitária em R^{infinito}
e essa coordenada é 1 à medida que percorremos o índice i vamos adicionando 
um ponto à
superfície desta bola (que diga-se de passagem não se parece com uma bola e 
sim com um hipercubo
de dimensão infinita).

  O que acontece (intuitivamente falando) é que apesar do conjunto ser 
fechado e limitado, a forma como a norma é definida e
o fato da dimensão do espaço ser definida, conseguem juntos dispersar os 
elementos de uma sequência de Cauchy
     (não conseguimos ||x_m - x_n|| < eps  para m,n > N). 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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