[obm-l] RE: [obm-l] Análise combinatória!

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Vanderlei e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( Escreverei sem acentos )

Vou apenas evidenciar o padrao que voce procura. Os detalhes voce completa.

Para facilitar a compreensao, vamos nos fixar num campeonado de turno único 
com 10 equipes, a saber : A, B, C, ..., J.  Os calculos, entretanto, serao 
feitos supondo um numero  generico e par de equipes, 2N. Alem disso, declaro 
que usarei a notacao BINOM(N,P) para representar o numero de combinacoes de 
P elementos que se pode fazer usando um conjunto com N elementos.

Seja Ri a i-esima rodada.

Voce calculou corretamente o valor de R1. Agora, para prosseguir, 
perguntamos : de quantas maneiras podemos montar a primeira partida da 
segunda rodada ? Claramente : BINOM(2N,2) – N, pois de BINOM(2N,2) 
precisamos retirar as N partidas já realizadas na primeira rodada.

De quantas maneiras podemos montar a segunda partida da segunda rodada ?

Bom, podemos pensar assim : retiramos de 2N as duas equipes usadas na 
primeira partida, o que da 2N-2 e sobre este numero calculamos BINOM(2N-2,2) 
– N. Ocorre que ao retirarmos duas equipes de 2N estamos tambem retirando a 
possibilidade de ocorrer duas partidas da primeira rodada ... Exemplo :

primeira rodada :
(A,B),(C,D),(E,F),(G,H),(I,J)

primeira partida da segunda rodada : (A,C).

As combinacoes de 2 elementos sobre B,D,E,F,G,H,I,J excluem a possibilidade 
das partidas (A,B) e (C,D) da primeira rodada pois A,C já foram usadas na 
primeira partida da segunda rodada.

O calculo correto, portanto, e : BINOM(2N-2,2) – (N-2). Evidentemente que 
para a i-esima partida da segunda rodada sera :

BINOM(2N-2i + 2,2) – (N – 2i + 2)
Para 2N=10, o produtorio sera :

R2=(1/5!)*[(BINOM(10,2)–5)*(BINOM(8,2)–3)*(BINOM(6,2)-1)*BINOM(4,2)*BINOM(2,2)]

Para o calculo da primeira partida da terceira rodada basta fazer 
BINOM(2N,2) – 2N, pois precisamos retirar N partidas da primeira rodada e N 
partidas da segunda rodada. Para a segunda partida da terceira rodada 
BINOM(2N-2,2)-2*(N-2), pois precisamso retirar (N-2) partidas da primeira 
rodada e (N-2) partidas da segunda rodada e assim sucessivamente.


Se Pij e a i-esima partida da j-esima rodada entao podemos monta-la de :

Pij= BINOM(2N-2i+2,2) – (J-1)*(N-2)
O numero de maneiras de montar esta rodada sera entao :
Rj = (1/N!)*[ PRODUTORIO(i variando de 1 a N) Pij ]

E claro que o numero de maneiras de organizar o campeonato, pelo principio 
multiplicativo da Analise Combinatoria,  e o produto : R1*R2*...*R2n-1

E esse o padrao que voce esta procurando.

E interessante perceber que voce SENTE que há um padrao, apenas não esta 
sabendo FALAR sobre ele ( the one that I can feel, I can express ! )

Espero ter sido util.

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
7,2000,220406

>From: vandermath@brturbo.com.br
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Análise combinatória!
>Date: Fri, 21 Apr 2006 12:50:21 +0000 (GMT)
>
>Caros colegas, estou com um problema que penso ser difícil. Imagine, para 
>ficar mais fácil, um campeonato brasileiro de futebol com 10 equipes por 
>exemplo e que jogam em turno único. De quantas maneiras diferentes a tabela 
>poderia ser montada??? Eu sei que a primeira rodada poderia ser feita de 
>945 maneiras diferentes, pois (C10,2.C8,2.C6,2.C4,2.C2,2)/5! = 945, onde 
>Cn,p é o números de combinações simples de n elementos tomados p a p. A 
>segunda rodada perderia várias destas possibilidades, pois um mesmo jogo 
>não pode ocorrer mais de uma vez, mesmo variando todos os demais. Como são 
>9 rodadas, a cada rodada perderíamos várias outras possibilidades também. 
>Não estou conseguindo observar o padrão a cada rodada. Eu dei um exemplo 
>numérico, mas é claro que se alguém souber um resultado genéniro seria 
>legal.
>Alguém tem alguma idéia???
>Obrigado!
>
>Vanderlei

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