Re: [obm-l]

O número 1000 do enunciado não ajudou muito, para a prova que se segue o importante é ser um mútiplo de 8.

Ordene os vértices do poligono regular dado, adotando o sentido anti-horário, chame os vértices assim ordenados de P_0, P_1, ..., P_{999}

Pode-se pensar (embora nada que se vá fazer essa representação), que o plano em que se trabalha é C e os P_{j} são as raízes 1000-ésimas da unidade, com P_0=1 (nesse caso P_{m}=e^(2m\pi/1000), m=0,...,999).

Começa-se com três fatos simples.

FATO 1. "Há nesse polígono 125 octógnos regulares, sendo que dois quaisquer desses octógnos são congruentes e não tem nenhum vértice em comum".

Dem. para 0<=k<=124, seja O(k) o octógno de vértices {P_{k+m125}, m=0,1,2,3,4,5,6,7}.

É claro que {O(k), k=0,...,124} é um conjunto de octógnos com as propriedades desejadas. CQD.

FATO 2. Se colorimos os vértices de um octógono regular com cores azul e vermelha de modo a que haja 5 vértices de cor vermelha e 3 de cor azul. Então há um triângulo azul congruente ao triãngulo azul dado pela coloração

DEM. Sejam Q_0, Q_1, ..., Q_7 os vértices do octógono ordenados no sentido anti-horário a partir do vértice pintado de azul Q_0 e seja T o triângulo formado pelos vértices azuis.

Por questões de simetria, pode-se supor sem perda de generalidade que o próximo vértice azul seja Q_{j}, com j<4 (se isso não ocorrer ordene de novo os pontos a partir de Q_0 só que no sentido horário).

Perceba que se entre 3 os vértices azuis não houver dois diametralmente opostos, então o triângulo formado pelos três vértices diametralmente opostos ao azuis é vermelho e é congruente a T.

Então Q_0 e Q_4 são azuis e as únicas possibilidades a considerar são o outro vértice azul ser Q_1 ou Q_2 (o caso Q_0 Q_3 Q_4 é simétrico ao caso Q_0 Q_1 Q_4)

Mas:
- se T é formado por Q_0 Q_1 Q_4 o triângulo vermelho Q_2, Q_3, Q_6 é congruente a T e
Q_0, Q_1 Q_3 ---> triângulo vermelho Q_4, Q_5, Q_7.
- se T é formado por Q_0, Q_2, Q_4 o triângulo vermelho Q_3, Q_5, Q_7 é congruente a T, encerrando a prova. CQD.

O fato seguinte infelizmente foi necessário, desculpem pela "demonstração" horrenda, foi a única que consegui.

FATO 3. Se colorimos os vértices de um octógono regular com cores aul e vermelha de forma a termos 4 vértices de cada cor, então há um trângulo de vértices (todos) vermelhos que é congruente a um triângulo de vértices (todos) azuis.

DEM. Na força bruta mesmo. ordene os vértices desse octógono no sentido anti-horário e chame-os de Q_0,Q_1,...Q_7.

Claro que pode-se escolher Q_0 de forma a este ser azul.

Por simetria pode-se supor que o próximo vértice azul é Q_{j} com j<4 (se não ordene no sentido horário a partir de Q_0 e repita a demonstração).

Então há as seguintes possibilidades para os Vértices azuis a serem analisadas:

(a) Se houver três vértices consecutivos azuis, digamos Q_0, Q_1, Q_2, então caso o quarto vértice azul não seja Q_5, há também três vértices consecutivos vermelhos e conseguem-se os dois triângulos desejados.

Caso os vértices azuis sejam Q_0, Q_1, Q_2 e Q_5, então note que o triângulo Q_3Q_4Q_7 é vermelho e congruente Q_1Q_2Q_5

Então resta considerar as possibilidades em que não há 3 vértices consecutivos azuis.

Primeiro os casos em que há dois (mas não três) vértices azuis connsecutivos, digamos Q_0 e Q_1

(b) Q_0,Q_1, Q_3,Q_4 -> Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_2.
(c) Q_0,Q_1, Q_3,Q_5 -> Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_3 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_4.
(d) Q_0,Q_1, Q_3,Q_6 -> Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_6 é congruente ao triângulo vermelho Q_4,Q_5,Q_2.
(e) Q_0,Q_1,Q_4Q_5 -> Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_6,Q_7,Q_2.
(f) Q_0,Q_1,Q_4,Q_6 -> Então o triângulo azul Q_0,Q_1Q_6 é congruente ao triângulo vermelho Q_3,Q_2,Q_5.

Isso encerra os casos em que há dois vértices consecutivos de cor azul.

Resta agora apenas uma possibilidade, mas esta trivial.

(g) Q_0, Q_2. Q_4, Q_6 -> Então o triângulo azul Q_0, Q_2, Q_4 é congruente ao triângulo vermelho Q_1,Q_3,Q_5.

Ufa! Acabou (acho). CQD.

E, enfim, prova-se o resultado desejado.

Considere uma coloração qualquer de {P_0,P_1,...,P_{999}} com cores azul e vermelha tal que há 500 vértices azuis e outros tantos vermelhos.

Há 3 possibilidades:

- (I) Um dos octaedros construídos no fato 1 tem 4 vértices de cada cor, então pelo fato 3 há um triângulo vermelho congruente a um triângulo azul nesse ocatedro, encerrando o assunto.

- (II) Um dos octaedros construídos no fato 1 tem 5 vértices de uma cor e 3 da outra cor, então o fato 2 resolve. o assunto.

- (III) Não há nenhum ocatedro nas condições (I) e (II) então um cada octaedro construído no fato tem x vértices vermelhos e y azuis, e max(x,y)>=6.

Nesse caso, pelo equilíbrio de cores, há um octaedro O(m) com pelo menos 6 vértices vermelhos e um octaedro O(r) com pelo menos seis vértices azuis.

Então há no octaedro O(m) 3 vértices consecutivos vermelhos formando um triângulo T_1 e em O(r) há 3 vértices consecutivos azuis formando um triângulo T_2. Como os octaedros regulares O(m) e O(r) são congruentes então T_1 e T_2 são congruentes. CQD

Esta demonstração é indecente por várias razões, a principal delas (afora o fato de possivelmente estar errada) é que embora ela mostre que o resultado seja verdadeiro sempre que 2n seja múltiplo de 8, não prova, nem dá nenhuma idéia óbvia de como fazer para provar isto para um polígono regular de 2n lados (com n>=3, claro).

Agradeço qualquer correção e, mais ainda, a demomnstração do caso geral.

Manuel Garcia

On 4/16/06, benedito < benedito@digi.com.br> wrote:

Dois problemas interessantes:

     1) Tem-se um polígono regular de 1000 lados.
   Eugênia pinta 500 vértices de cor azul e os 500 vértices restantes de cor lilás.

   Augustina ganha se pode escolher 3 vértices azuis e 3 vértices lilás, de maneira que o triângulo determinado pelos três vértices azuis e o triângulo      determinado pelos três vértices lilás sejam congruentes.

   Demonstre que Augustina sempre pode ganhar, independente de como Eugênia pinta os vértices.

2) Num tabuleiro 5 por 5, dois jogadores disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O primeiro a jogar coloca um cavalo em algum dos quadrados. A partir daí, os jogadores movem o cavalo com as mesamas regras do xadrez, começando com o segundo jogador. Não é permitido mover o cavalo para um quadrado em que ele já tenha estado previamente. O jogador que não pode mover perde a partida.

Qual dos dois jogadores tm uma estratégia vencedora?

Benedito Freire