pela desigualdade das médias:
1 = p + q + r >= 3/(1/r + 1/p + 1/q)
entao:
1/r + 1/p + 1/q >= 3
pq + qr + pr >= 3pqr (i)
ok.. segunda expressao:
1 = (p+q+r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + pr) >= 0 (ii)
(p+q+r)^3 = (p+q)^3 + 3(p+q)r^2 + 3r(p+q)^2 + r^3 = p^3 + q^3 + r^3 + 3pq^2 + 3qp^2 + 3pr^2 + 3qr^2 + 3rp^2 + 3rq^2 + 6pqr = 1 (iv)
p^3 + q^3 + r^3 - 3prq = (p+q+r)(p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr) = p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr (iii)
usando (iii) e (ii), temos: p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr = 1 - 3(pq - qr - pr)
agora, este ultimo com (iv), temos: 1 - 3pq^2 - 3qp^2 - 3pr^2 - 3qr^2 - 3rp^2 - 3rq^2 - 6pqr = 1 - 3(pq - qr - pr)
assim: 3 (pq + qr + pr) = 6pqr + 3 (pq^2 + qp^2 + pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2)
novamente, da desigualdade das medias:
p/q + q/p + r/q + q/r + p/r + r/p >= 6
logo: pq^2 + qp^2 + pr^2 + qr^2 + rp^2 + rq^2 >= 6pqr
assim: 3 (pq + qr + pr) >= 6pqr + 18pqr
pq + qr + pr >= 8pqr
bom.. nao cheguei em lugar nenhum.. rs
espero conseguir chegar.. mas vou dormir
soh estou mandando este email, pois fiz uma porrada de conta e quem sabe alguem consegue usar esses resultados..
abraços,