1) Seja f:R->R continua, com lim f(x) = +oo qdo x->+oo e limf(x) =
-oo qdo
x->-oo. Prove que, para todo c pertencente ao R(reais) dado, existe
entre as raizes x da equação f(x) = c uma cuja modulo de |x| é minimo.
(prova) Observamos que o conjunto formado por x pertencendo a R(reais)
tal que f(x) = c eh fechado e (como lim f(x) = +oo qdo
x->+oo e limf(x) = -oo qdo
x->-oo) limitado. Logo pelo teo. de Weierstrass, existe xo entre as
raizes tal que |xo| é minimo.
[Artur Costa
Steiner]
Elaborando mais um pouco: O conjunto {x | f(x) = c} eh fechado e nao eh
vazio, contendo assim um elemento y. Para todo M >|y|, o conjunto A = { x |
f(x) = c e |x| <= M} = {x | f(x) = c} inter [-M, M] eh fechado
e limitado, logo compacto. Temos que B = { |x| | f(x)
= c e |x| <= M} eh a imagem de A atraves da funcao |.|, que eh
continua. Assim, B eh compacto . Assim, existe o minimo
citado..
2)Uma função f:R->R diz-se periodica qdo existe p pertencente aos
R+(reais positivos) tal que f(x+p) = f(x) para todo x pertencente ao
R(reais). Prove que toda função contínuia periodica f:R->R é limitada e
atinge seus valores maximos e minimos, isto é, existem x0,x1 pertencente a R
tais que
f(x0) <=f(x) <= f(x1), para todo x pertencente a R.
(Prova) Como f:R->R é continua e periodica então f|[0,p] também eh
continua e periodica.Logo como o dominio é compacto e f|[0,p] é continua então
pelo teo. de weiertrass, existe x0,x1 pertencente a [0,p] onde f assume seus
valores de maximo e minimo.
[Artur Costa Steiner]
Para
todo real x, existe y em [0,p] tal que f(x) = f(y). Como f eh continua e [0,p]
eh compacto, a restricao de f a este intervalo e nele assume seus valores
minimo e maximo em xo e em x1, respectivamente. Para todo real x, temos entao que f(x0) <=
f(y) = f(x) <= f(x1), ficando assim demomstrada a
afirmacao..
Na
realidade, f eh uniformemente continua em
R.