Eu fiz essas duas questões, se alguém puder dar uma conferida fico agradecido.
1) Seja f:R->R continua, com lim f(x) = +oo qdo x->+oo e limf(x) = -oo qdo
x->-oo. Prove que, para todo c pertencente ao R(reais) dado, existe entre as raizes x da equação f(x) = c uma cuja modulo de |x| é minimo.
(prova) Observamos que o conjunto formado por x pertencendo a R(reais) tal que f(x) = c eh fechado e (como lim f(x) = +oo qdo x->+oo e limf(x) = -oo qdo
x->-oo) limitado. Logo pelo teo. de Weierstrass, existe xo entre as raizes tal que |xo| é minimo.
2)Uma função f:R->R diz-se periodica qdo existe p pertencente aos R+(reais positivos) tal que f(x+p) = f(x) para todo x pertencente ao R(reais). Prove que toda função contínuia periodica f:R->R é limitada e atinge seus valores maximos e minimos, isto é, existem x0,x1 pertencente a R tais que
f(x0) <=f(x) <= f(x1), para todo x pertencente a R.
(Prova) Como f:R->R é continua e periodica então f|[0,p] também eh continua e periodica.Logo como o dominio é compacto e f|[0,p] é continua então pelo teo. de weiertrass, existe x0,x1 pertencente a [0,p] onde f assume seus valores de maximo e minimo.