Re: [obm-l] teoria numeros

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Eduardo,

Acho que o Klaus não quis dizer a soma das potências;
veja os exemplos que ele deu: '2^1' + '5^1' = 25 e '
2^2 ' +' 5^2 ' = 425. O '+' dele deve ser de
concatenar strings (que podem ser notadas usando as
aspas simples - ' '), que é uma notação utilizada em
algumas linguagens de programação. Observe que 2^1 = 2
e 5^1 = 5, e concatenando obtemos 25; e concatenando
2^2 = 4 e 5^2 = 25, obtemos 425.

E além disso, é fácil ver que 2^n + 5^n (agora, a soma
mesmo) tem no máximo a mesma quantidade de dígitos que
5^n mais 1, pois 2^n + 5^n < 2 * 5^n. Mas, como 5^4 <
10^3, então 5^4k < 10^3k, ou seja, 5^4k tem uma
quantidade de dígitos menor ou igual a 3k. Logo, por
exemplo, 2^4k + 5^4k tem uma quantidade de dígitos
menor ou igual a 3k, e nunca vai ser 4k+1.

De fato, a quantidade de dígitos da soma, na maioria
dos casos, não é igual à soma das quantidades dos
dígitos das parcelas; de fato, em um certo senso, é
muito menor. Na verdade, a quantidade de dígitos do
produto é *aproximadamente* igual à soma das
quantidades dos dígitos dos fatores (com uma diferença
de no máximo 2, acho). Para números pequenos, a
diferença é relativamente grande, mas por exemplo, sem
fazer a conta dá para ver que 100029458853 *
584384762342 tem 23 ou 24 algarismos.

Isto é, não é verdade que 2^n + 5^n tem n+1 algarismos
para todo n inteiro positivo. De fato, tem
aproximadamente n*log 5 algarismos; como log 5 < 1,
tem menos algarismos.

[]'s
Shine

--- Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> wrote:

>     Calma, Carlos.
> 
>      Tá bom mas falta algumas coisinhas, tipo:  o
> número de dígitos de uma soma nem sempre é  a soma
> do número de dígitos das parcelas...
> 
> 
> 
> Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com> escreveu: Na
> verdade, mais Álgebra...
> 
> Queremos provar que a quantidade de dígitos de 2^n
> somada com a quantidade de dígitos de 5^n é n+1.
> 
> Sendo k a quantidade de dígitos de 2^n e l a
> quantidade de dígitos de 5^n, temos 10^{k-1} < 2^n <
> 10^k e 10^{l-1} < 5^n < 10^l. Multiplicando as
> desigualdades membro a membro, obtemo 10^{k-1+l-1} <
> 2^n*5^n < 10^{k+l}, ou seja, 10^{k+l-2} < 10^n <
> 10^{k+l}. Deste modo, n = k+l-1, que é o mesmo que
> k+l
> = n+1.
> 
> []'s
> Shine
> 
> --- Klaus Ferraz  wrote:
> 
> > Prove que ' 2^n '+' 5^n ' sempre tem n+1 digitos.
> > Por exemplo '2^1' + '5^1' = 25
> >   ' 2^2 ' +' 5^2 ' = 425.
> > 
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