Re: [obm-l] Serie dupla

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Um caso em que a permutacao dos somatorios eh valida
eh, simplesmente, se tivermos a_i_j >=0 para todos
(i,j) em N^2. Neste caso, a permutacao eh valida mesmo
se a serie dupla for divergente e as somas forem
infinitas.
 
 
Outro caso eh se tivermos as seguintes condicoes:
 
Para todo i, Soma(j>=1) |a_i_j| = b_i,     b_i em R, e
Soma(i>=1) b_i for convergente
 
Neste segundo caso, a serie dupla eh convergente e
ateh mesmo absolutamente convergente. Para todo j,
Soma(i>=1) tambem eh absolutamente comvergente.
 
Uma forma facil de demosntrar estes fatos eh usar
teoria de medidas. Ha, porem, outros processos. 
 
As condicoes citadas sao suficientes, mas naa
necessarias. Suponhamos, por exemplo, que a_i_j =
((-1)^(i+1)/(i))*2^(1-j). Temos uma "matriz de
dimensoes infinitas" assim
 
1      -1/2      1/3      -1/4.................
1/2   -1/4     1/6      -1/8.....................
.
.
.
Esta serie dupla nao se enquadra em nenhum dos 2 casos
citados. Os termos alternam em sinal e as series das
linhas sao absolutamente divergentes. As series das
colunas sao abs. convergentes (series geometricas),
mas os limites das series absolutas formam uma serie
divergente. Entretanto, a soma infinita de cada cada
linha converge para ln(2)*(2^(1-j)) e a serie dupla
converge para 2*ln(2). Eh facil ver que a permutacao
na ordem dos somas infinitas leva ao mesmo limite.  
 
Artur

> Bom dia a todos!
>    
>   Gostaria de saber se existe algum criterio que nos
> permita permutar os somatorios em uma serie dupla,
> isto e:
>    
>   se a_i_j,   (i, j) em N^2, N ={1,2,3.....}, eh uma
> sequencia dupla reais, em que casos eh verdade que 
>    
>   Soma (i>=1) (Soma(j>=1) a_i_j = Soma (j>=1)
> (Soma(i>=1) a_i_j 
>    
>   Acho que, se para cada i a serie em j convergir
> absolutamente, podemos permutar.
>    
>   Obrigada
>   Ana 
> 
> 
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