[obm-l] N�meros complexos

["Henrique Renn�" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Ol� pessoal da lista!!!

Estou lendo um artigo em ingl�s sobre n�meros complexos e gostaria de
saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido):

O algoritmo de Euclides para n�meros complexos � uma conseq��ncia do
algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa � um n�mero complexo e se
beta � um n�mero complexo n�o nulo, ent�o existe um n�mero complexo
gama tal que o n�mero complexo

delta = alfa - beta * gama

satisfaz a inequa��o

delta' * delta < beta' * beta.

O n�mero gama � escolhido de forma que o n�mero complexo

beta' * alfa - beta' * beta * gama

� igual a

u + v * i

para inteiros u e v os quais satisfazem as inequa��es

-beta' * beta <= 2 * u <= beta' * beta

e

-beta' * beta <= 2 * v <= beta' * beta.

A inequa��o

4 * u^2 + 4 * v^2 <= 2 * (beta' * beta)^2

� ent�o satisfeita.

Desde que

beta' * delta = u + v * i

a inequa��o

(beta' * beta) * (delta' * delta) <= u^2 + v^2

� satisfeita.

Desde que

beta' * beta

seja positivo, a inequa��o

2 * gama' * gama <= beta' * beta

� satisfeita.


O ap�strofo representa o conjugado e i representa a parte imagin�ria
do n�mero complexo.

Qualquer problema com rela��o ao exposto, posso enviar o arquivo pdf
do artigo em anexo.

Abra�os!!!

--
Henrique

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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