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Queremos a soma S(k=1, n) k^3 ( soma de k=1 ate n
de k^3)
Fatos que ajudam:
Teorema das colunas do triangulo de
Pascal:
notacao: C(n,p)=n classe p, ou combinacao de n p a
p.
C(p,p)+C(p+1,p)+...+C(p+n,p)=C(p+n+1,p+1)
Entao, para utilizar o teorema acima,
fazemos:
x^3=A(x)(x+1)(x+2) + B(x)(x+1) + Cx + D =>A=1,
B= -3, C=1, D=0
logo,
S(k=1,n) k^3 = S(k=1, n)
k(k+1)(k+2) + S(k=1,n) -3(k)(k+1)
+ S(k=1,n) k
=S(k=1,n) 3!*C(k+2,3) + S(k=1,n)
-3*2!*C(k+1,2) + S(k=1,n) k
=(teorema das colunas) = 3!*C(n+3,4)
-3*2!*C(n+2,3) + (1+n)n/2
=(n+3)(n+2)(n+1)(n)/4 -(n+2)(n+1)(n) +
n(n+1)/2
=n(n+1)(1/2-n-2+1/4*(n^2+5n+6))=n(n+1)(n^2+n)/4=(n(n+1)/2)^2
.
espero ter ajudado
Ricardo
----- Original Message -----
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