Re: [obm-l] converge?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Feb 18, 2006 at 08:19:18AM -0800, Felipe Nobili wrote:
> seja x um numero tal que x/pi é irracional
> 
> a sequencia  tg(nx)/n  converge?

Depende de x: em muitos casos sim, em muitos casos nao.

Para todo irracional, no caso 2x/pi, existem infinitas boas aproximacoes
por racionais: para uma constante C, temos |2x/pi - m/n| < C/n^2
(para infinitos pares (m,n)) donde |nx - m pi/2| < C'. Para alguns
irracionais, este eh o melhor tipo de aproximacao que existe,
ou seja, podemos ter |2x/pi - m/n| > D/n^2 para alguma constante D
e para todo n suficientemente grande: isto acontece por exemplo 
para irracionais da forma c+d sqrt(e) onde c, d, e sao inteiros
e e>1 eh livre de quadrados. Se isto acontecer teremos |nx - m pi/2| > D'
donde tan(nx) eh limitada donde a sequencia converge para 0.
Por outro lado, alguns irracionais admitem aproximacoes muito melhores.
Digamos que 2x/pi admita infinitas aproximacoes com |2x/pi - m/n| < C/n^4
para infinitos pares (m,n) com m impar. Neste caso teremos
para estes pares |nx - m pi/2| < C'/n^2: perto de m pi/2,
m impar, temos tan(nx) ~= +-  1/|nx - m pi/2| donde
temos |tan(nx)/n| > n/C', ilimitado e portanto divergente.

Para entender isso tudo mais a fundo vc deve estudar numeros diofantinos,
numeros de Liouville e fracoes continuas (ou continuadas).

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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