Re: Re: [obm-l] obm

[VANDERLEI NEMITZ <vandermath@xxxxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas, resolvi de uma maneira um pouco trabalhosa, mas lá vai:
Chamando de E a expressão a/(a+b) + b(b+c)+c(a+c), temos:

E = a/(a+b) + b(b+c)+c(a+c)
E = [a.(b+c).(a+c) + b.(a+b).(a+c) + c.(a+b).(b+c)] / [(a+b).(b+c).(a+c)]
desenvolvendo, temos que:
E = [3abc + 2ba^2 + 2ac^2 + 2cb^2 +ab^2 + ca^2 +bc^2] / [2abc +ba^2 + ac^2 +cb^2 + ab^2 + ca^2 + bc^2]

Por outro lado, sabemos que [(a-b).(b-c).(c-a)] / [(a+b).(b+c).(a+c)] = 1/11
Multiplicando cruzado e desenvolvendo, chegaremos em:
abc = 5ab^2 + 5ca^2 + 5bc^2 - 6ba^2 -6ac^2 - 6cb^2 (verifique!)

Substituindo essa última em E, temos que:

E = [3.(5ab^2 + 5ca^2 + 5bc^2 - 6ba^2 -6ac^2 - 6cb^2) + 2ba^2 + 2ac^2 + 2cb^2 +ab^2 + ca^2 +bc^2] / [2.(5ab^2 + 5ca^2 + 5bc^2 - 6ba^2 -6ac^2 - 6cb^2) +ba^2   + ac^2 +cb^2 + ab^2 + ca^2 + bc^2]

E = [16ab^2 + 16ca^2 + 16bc^2 - 16ba^2 - 16ac^2 - 16cb^2] / [11ab^2 + 11ca^2 + 11bc^2 - 11ba^2 - 11ac^2 - 11cb^2]

Finalmente:

E = 16/11

Desculpe caso tenha algum erro de digitação, só para lembrar, usei ^para designar "elevado a" .
Um abraço!
Vanderlei


-----Mensagem original-----
De:   Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>
Enviada em: 17/02/2006 19:39:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] obm

mas como q faz?

saulo nilson <saulo.nilson@gmail.com> escreveu:    Essa questao e da  XXVIIOBM terceira fase nivel 2
  R=16/11

 
  On 2/16/06, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:     Sejam a, b c reais quaisquer, tais que  (a-b)(b-c)(c-a)/(a+b)(b+c)(a+c)=1/11
  Calcule a/(a+b) + b(b+c)+c(a+c)
    
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