Prove que para todo n. n E N --> 1+1/2+1/3*...*1/(2^n-1) >n/2
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Não entendi a sequencia direito!!!!Veja:
Se vc quis dizer que o último termo do lado esquerdo é 1/(2^n-1) , então para n E N o lado esquerdo não pode ser como esta, seria :
-1 + 1 + 1/3 + 1/7 + ... +1/(2^n-1).
Mas se quis dizer 1/(2^[n-1]) tb não pode ser, seria :
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^[n-1]) .
Digamos que n E N* :
Se quis dizer 1/(2^n-1) ,então o lado esquerdo é :
1 + 1/3 + 1/7 + ... + 1/(2^n-1).
Ou então , se o ultimo termo for 1/(2^[n-1]) :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]).
Mas digamos que quis dizer 1/(2^[n-1]) para n E N* :
Assim o problema proposto se torna :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) > n/2 (i) ,para n E N*
Por indução finita :
Para n=1 :
1>1/2 (é verdade!)
Para n <-- n+1
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) + 1/2^n > n/2 + 1/2 (ii)
Precisamos mostrar que (ii) é verdadeira para todo n E N* ,então partimos de (i) e tentamos chegar a (ii):
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) > n/2 .Somando 1/2^n + 1/2 nos 2 lados da desigualdade :
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n + 1/2 > n/2 + 1/2^n + 1/2 .
Arrumando:
{1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^[n-1]) +1/2^n} + 1/2 > {n/2 + 1/2} +1/2^n
Bom , o que está entre chaves é exatamente (i) , basta mostrar agora que
1/2 > 1/2^n (iii) para todo nEN* e >1 .Já que quando n=1 os termos se anulam fazendo (ii) ser verdade.
Assim,assumindo a desigualdade (iii) verdadeira(Para formalizar utilize indução novamente e prove) (ii) se torna sempre verdade, complatando nossa prova!
[]'s
Luiz H. Barbosa