[obm-l] Re:Espaços Métricos

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Estou com uma duvida: este teorema vale em qualquer
espaco topologico ou apenas em espacos metricos e
espacos metrizaveis? Em um espaco topologico nao
metrizavel, a prova dada nao vale, pois o fato de x
ser ponto de acumulacao de X nao implica que eista uma
sequencia em X que convirja para x. Se substituirmos
sequencia por rede, a prova torna-se valida?

Artur 

 
 
> Mostre que se X inter K é fechado de K para todo
> compacto K C ou igual 
> M, então X é fechado do espaço M
> 
> (inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual
> a)
> 
> Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja
> fechado. Entao, X possui um
> ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X.
> Adicionalmente, existe
> uma sequencia (x_n)  em X que converge para x
> (propriedade de espacos
> metricos). 
> O conjunto  A = (x1, x2....x_n....} nao eh fechado,
> pois x eh ponto de
> acumulacao de A mas nao pertence a A. 
> Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1,
> x2....x_n...} eh compacto (qualquer
> cobertura aberta de K contem um membro que contem x
> e que, desta forma, com
> possivel excecao de um numero finito de elementos de
> K, cobre a totalidade
> dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n
> -> x).  
> Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K
> tal que X inter K = A
> nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a
> afirmacao eh verdadeira.
> 


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