[obm-l] RES: [obm-l] Espaços Métricos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Mostre que se X inter K é fechado de K para todo compacto K C ou igual 
M, então X é fechado do espaço M

(inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual a)

Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja fechado. Entao, X possui um
ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X. Adicionalmente, existe
uma sequencia (x_n)  em X que converge para x (propriedade de espacos
metricos). 
O conjunto  A = (x1, x2....x_n....} nao eh fechado, pois x eh ponto de
acumulacao de A mas nao pertence a A. 
Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1, x2....x_n...} eh compacto (qualquer
cobertura aberta de K contem um membro que contem x e que, desta forma, com
possivel excecao de um numero finito de elementos de K, cobre a totalidade
dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n -> x).  
Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K tal que X inter K = A
nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a afirmacao eh verdadeira.

No outro problema, observe que as duas metricas geram exatamente os mesmos
conjuntos abertos, ou seja, geram a mesma toplogia.  

Artur


-------------------------

Sobre o conjunto não vazio M, considere uma métrica qualquer d e também 
a métrica (x,y) ---d'---> d(x,y)/(1+d(x,y)). Mostre que uma sequência em 
M é de Cauchy com relação a d se e somente se ela for de Cauchy com 
relação a d'.


Obrigado
Maurizio

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================